Valores del parámetro para una matriz no regular

**B1) Calcula los valores del parámetro $t$ para los que la siguiente matriz no es regular:** Una matriz cuadrada $A$ se dice que **no es regular** (o que es singular) cuando no tiene inversa. Esto ocurre si y solo si su determinante es igual a cero. Por tanto, el primer paso es plantear la ecuación: $$|A| = 0$$ Calculamos el determinante de la matriz dada: $$|A| = \begin{vmatrix} -t & t + 1 & -t + 1 \\ 1 & 0 & -t + 1 \\ 2 & -t - 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Si te piden que **no** sea regular, buscamos $|A| = 0$.

Aplicamos la regla de Sarrus para desarrollar el determinante de orden 3: $$|A| = [(-t) \cdot 0 \cdot 1 + (t + 1) \cdot (-t + 1) \cdot 2 + (-t + 1) \cdot 1 \cdot (-t - 1)] - [2 \cdot 0 \cdot (-t + 1) + (-t - 1) \cdot (-t + 1) \cdot (-t) + 1 \cdot (t + 1) \cdot 1]$$ Operamos cada término con cuidado: 1. Productos de la diagonal principal y sus paralelas: * $(-t) \cdot 0 \cdot 1 = 0$ * $2(t + 1)(1 - t) = 2(1 - t^2) = 2 - 2t^2$ * $1(-t - 1)(-t + 1) = -(t + 1)(1 - t) = -(1 - t^2) = t^2 - 1$ * Suma de esta parte: $0 + 2 - 2t^2 + t^2 - 1 = 1 - t^2$ 2. Productos de la diagonal secundaria y sus paralelas: * $2 \cdot 0 \cdot (-t + 1) = 0$ * $(-t - 1)(-t + 1)(-t) = (t^2 - 1)(-t) = -t^3 + t$ * $1 \cdot (t + 1) \cdot 1 = t + 1$ * Suma de esta parte: $0 - t^3 + t + t + 1 = -t^3 + 2t + 1$ Restamos ambos resultados: $$|A| = (1 - t^2) - (-t^3 + 2t + 1) = 1 - t^2 + t^3 - 2t - 1$$ $$|A| = t^3 - t^2 - 2t$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar Sarrus, especialmente cuando el parámetro $t$ tiene signos negativos delante.

Para que la matriz no sea regular, igualamos el polinomio obtenido a cero: $$t^3 - t^2 - 2t = 0$$ Podemos resolver esta ecuación de tercer grado factorizando. Primero, extraemos factor común $t$: $$t(t^2 - t - 2) = 0$$ Esto nos da una primera solución inmediata: $$\mathbf{t_1 = 0}$$ Ahora resolvemos la ecuación de segundo grado restante $t^2 - t - 2 = 0$ usando la fórmula general: $$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos las otras dos soluciones: * $t_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$ * $t_3 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = \mathbf{-1}$ 💡 **Tip:** Siempre que falte el término independiente en una ecuación polinómica, puedes sacar factor común $x$ (o $t$ en este caso) para reducir el grado de la ecuación.

Los valores del parámetro $t$ para los cuales el determinante de la matriz $A$ es cero, y por tanto la matriz no es regular, son $t = -1$, $t = 0$ y $t = 2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t \in \{-1, 0, 2\}}$$