Existencia de un máximo relativo mediante el Teorema de Bolzano

**Demuestra que la función $f(x) = \text{sen} (\frac{\pi x}{2}) \sqrt{x^2 + x}$ tiene un máximo relativo en el intervalo $(1, 3)$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.** Primero, estudiamos el dominio de la función $f(x)$. La función es el producto de una función trigonométrica (definida en $\mathbb{R}$) y una raíz cuadrada. Para la raíz, necesitamos que el radicando sea no negativo: $$x^2 + x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$$ Esto ocurre en $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$. Como el intervalo de estudio es $(1, 3)$, que está contenido en $(0, +\infty)$, la función es **continua y derivable** en dicho intervalo por ser composición y producto de funciones elementales derivables en sus dominios. 💡 **Tip:** Para demostrar la existencia de un extremo relativo sin calcular el valor exacto, solemos recurrir al estudio del signo de la derivada utilizando el **Teorema de Bolzano**.

Calculamos la primera derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = \left[\text{sen}\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]' \cdot \sqrt{x^2+x} + \text{sen}\left(\frac{\pi x}{2}\right) \cdot \left[\sqrt{x^2+x}\right]'$$ Derivamos cada parte: - $\left[\text{sen}\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]' = \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ - $\left[\sqrt{x^2+x}\right]' = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}$ Sustituyendo: $$f'(x) = \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \sqrt{x^2+x} + \frac{(2x+1) \text{sen}\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{2\sqrt{x^2+x}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y que $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Para probar que existe un máximo relativo en $(1, 3)$, buscaremos un punto donde la derivada se anule ($f'(x) = 0$) y cambie de signo de positivo a negativo. Evaluamos el signo de $f'(x)$ en los puntos $x=1$ y $x=2$ (ambos dentro del intervalo $(1, 3)$): 1. **Para $x=1$:** $$f'(1) = \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \sqrt{2} + \frac{(2+1) \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2\sqrt{2}}$$ Como $\cos(\pi/2) = 0$ y $\text{sen}(\pi/2) = 1$: $$f'(1) = 0 + \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} > 0$$ 2. **Para $x=2$:** $$f'(2) = \frac{\pi}{2} \cos(\pi) \sqrt{6} + \frac{(4+1) \text{sen}(\pi)}{2\sqrt{6}}$$ Como $\cos(\pi) = -1$ y $\text{sen}(\pi) = 0$: $$f'(2) = \frac{\pi}{2} (-1) \sqrt{6} + 0 = -\frac{\pi\sqrt{6}}{2} < 0$$ Dado que $f'(x)$ es continua en $[1, 2]$ y toma valores de distinto signo en los extremos ($f'(1) > 0$ y $f'(2) < 0$), por el **Teorema de Bolzano** existe al menos un punto $c \in (1, 2)$ tal que: $$\boxed{f'(c) = 0}$$

Hemos encontrado un punto crítico $c \in (1, 2)$. Para justificar que es un **máximo relativo**, analizamos el cambio de signo de la derivada en el entorno de $c$: - Para $x \in (1, c)$, sabemos que $f'(x) > 0$ (la función es creciente). - Para $x \in (c, 2)$, sabemos que $f'(x) < 0$ (la función es decreciente). Como la función pasa de crecer a decrecer en $x=c$, existe un **máximo relativo** en ese punto. Puesto que $c \in (1, 2)$, entonces $c$ pertenece al intervalo $(1, 3)$ solicitado. **Resultados teóricos empleados:** 1. **Teorema de Bolzano:** Justifica la existencia de un punto donde la derivada es cero. 2. **Condición necesaria de extremo relativo:** Si $f$ es derivable y tiene un extremo en $c$, entonces $f'(c)=0$. 3. **Criterio de la primera derivada:** El cambio de signo de $f'(x)$ de $+$ a $-$ asegura que el punto es un máximo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Queda demostrado que } f(x) \text{ tiene un máximo relativo en } (1, 3)}$$