Cálculo de límites: indeterminaciones infinito menos infinito y uno elevado a infinito

**A3) Calcula los siguientes límites: $$\lim_{x o +\infty} (\sqrt{2x^2 + 3x + 1} - \sqrt{2x^2 - 5x + 7}) \quad (1 \text{ punto})$$** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $+\infty$: $$\lim_{x o +\infty} \sqrt{2x^2 + 3x + 1} = \sqrt{+\infty} = +\infty$$ $$\lim_{x o +\infty} \sqrt{2x^2 - 5x + 7} = \sqrt{+\infty} = +\infty$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$\infty - \infty$**. 💡 **Tip:** Cuando tenemos una resta de raíces cuadradas que genera la indeterminación $\infty - \infty$, el método estándar consiste en multiplicar y dividir por la **expresión conjugada** (cambiando el signo menos central por un más).

Multiplicamos y dividimos por el conjugado: $$\lim_{x o +\infty} \frac{(\sqrt{2x^2 + 3x + 1} - \sqrt{2x^2 - 5x + 7}) (\sqrt{2x^2 + 3x + 1} + \sqrt{2x^2 - 5x + 7})}{\sqrt{2x^2 + 3x + 1} + \sqrt{2x^2 - 5x + 7}}$$ Utilizamos la identidad notable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ en el numerador: $$\lim_{x o +\infty} \frac{(2x^2 + 3x + 1) - (2x^2 - 5x + 7)}{\sqrt{2x^2 + 3x + 1} + \sqrt{2x^2 - 5x + 7}}$$ $$\lim_{x o +\infty} \frac{2x^2 + 3x + 1 - 2x^2 + 5x - 7}{\sqrt{2x^2 + 3x + 1} + \sqrt{2x^2 - 5x + 7}} = \lim_{x o +\infty} \frac{8x - 6}{\sqrt{2x^2 + 3x + 1} + \sqrt{2x^2 - 5x + 7}}$$

Ahora tenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. El grado del numerador es $1$. En el denominador, el término dominante es $\sqrt{2x^2}$, que también equivale a grado $1$. Dividimos numerador y denominador por la máxima potencia de $x$, que es $x$ (recordando que dentro de la raíz cuadrada entra como $x^2$): $$\lim_{x o +\infty} \frac{\frac{8x}{x} - \frac{6}{x}}{\sqrt{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{7}{x^2}}}$$ $$\lim_{x o +\infty} \frac{8 - \frac{6}{x}}{\sqrt{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{2 - \frac{5}{x} + \frac{7}{x^2}}}$$ Como los términos con $x$ en el denominador tienden a $0$: $$\frac{8 - 0}{\sqrt{2 + 0 + 0} + \sqrt{2 - 0 + 0}} = \frac{8}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ ✅ **Resultado (primer límite):** $$\boxed{2\sqrt{2}}$$

**$$\lim_{x o 1} (\cos(\pi x) + 2^x)^{\frac{1}{\ln x}} \quad (1 \text{ punto})$$** Evaluamos la base y el exponente por separado cuando $x \to 1$: - Base: $\cos(\pi \cdot 1) + 2^1 = \cos(\pi) + 2 = -1 + 2 = 1$ - Exponente: $\frac{1}{\ln 1} = \frac{1}{0} = \infty$ Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites de la forma $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = 1^\infty$, aplicamos la propiedad: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot (f(x) - 1)}$$

Aplicamos la fórmula anterior: $$L = e^A, \text{ donde } A = \lim_{x o 1} \frac{1}{\ln x} \cdot (\cos(\pi x) + 2^x - 1)$$ Calculamos el límite del exponente $A$: $$A = \lim_{x o 1} \frac{\cos(\pi x) + 2^x - 1}{\ln x}$$ Al sustituir $x=1$ obtenemos $\frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: - Derivada del numerador: $\frac{d}{dx}(\cos(\pi x) + 2^x - 1) = -\pi \sin(\pi x) + 2^x \ln 2$ - Derivada del denominador: $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ Entonces: $$A = \lim_{x o 1} \frac{-\pi \sin(\pi x) + 2^x \ln 2}{\frac{1}{x}}$$

Sustituimos $x=1$ en el límite transformado: $$A = \frac{-\pi \sin(\pi \cdot 1) + 2^1 \ln 2}{\frac{1}{1}} = \frac{-\pi \cdot 0 + 2 \ln 2}{1} = 2 \ln 2$$ Usando las propiedades de los logaritmos ($n \ln x = \ln x^n$): $$A = \ln(2^2) = \ln 4$$ Finalmente, recuperamos el valor de $L$: $$L = e^A = e^{\ln 4} = 4$$ ✅ **Resultado (segundo límite):** $$\boxed{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^{\ln k} = k$. Esta propiedad es fundamental al resolver límites con la estructura del número $e$.