Ecuación de un plano paralelo a dos rectas a una distancia dada

Para encontrar un plano paralelo a dos rectas, primero necesitamos conocer los vectores directores de dichas rectas. El vector director de la recta $r$, dada por la intersección de dos planos, se puede obtener realizando el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos. Los vectores normales son $\vec{n_1} = (2, -1, -2)$ y $\vec{n_2} = (3, -1, -4)$. Calculamos su producto vectorial: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & -4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i} \cdot [(-1)(-4) - (-1)(-2)] - \vec{j} \cdot [(2)(-4) - (3)(-2)] + \vec{k} \cdot [(2)(-1) - (3)(-1)]$$ $$\vec{v_r} = \vec{i} \cdot (4 - 2) - \vec{j} \cdot (-8 + 6) + \vec{k} \cdot (-2 + 3)$$ $$\vec{v_r} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 1\vec{k} = (2, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** Si una recta viene dada como intersección de dos planos, su vector director es siempre perpendicular a ambos vectores normales, por lo que usamos el producto vectorial. $$\boxed{\vec{v_r} = (2, 2, 1)}$$

La recta $s$ viene expresada en su forma continua: $$ s \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z+1}{1} $$ En esta forma, los denominadores corresponden directamente a las componentes del vector director $\vec{v_s}$. Por lo tanto: $$\boxed{\vec{v_s} = (1, 0, 1)}$$

Como el plano $\pi$ debe ser paralelo a las rectas $r$ y $s$, su vector normal $\vec{n_\pi}$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas ($\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$). Calculamos $\vec{n_\pi}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{n_\pi} = \vec{i} \cdot [2 \cdot 1 - 0 \cdot 1] - \vec{j} \cdot [2 \cdot 1 - 1 \cdot 1] + \vec{k} \cdot [2 \cdot 0 - 1 \cdot 2]$$ $$\vec{n_\pi} = 2\vec{i} - 1\vec{j} - 2\vec{k} = (2, -1, -2)$$ Con el vector normal, la ecuación general del plano $\pi$ tiene la forma: $$2x - y - 2z + D = 0$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es la clave para establecer condiciones de paralelismo y perpendicularidad. $$\boxed{\vec{n_\pi} = (2, -1, -2)}$$

Se nos indica que la distancia del punto $P(1, -1, 0)$ al plano $\pi$ es 2. Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(P, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = 2$$ Sustituimos las coordenadas de $P$ y los coeficientes de $\pi$: $$\frac{|2(1) - 1(-1) - 2(0) + D|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = 2$$ $$\frac{|2 + 1 + D|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 2$$ $$\frac{|3 + D|}{\sqrt{9}} = 2 \implies \frac{|3 + D|}{3} = 2$$ $$|3 + D| = 6$$ Esto nos da dos posibles soluciones para $D$: 1. $3 + D = 6 \implies D_1 = 3$ 2. $3 + D = -6 \implies D_2 = -9$ 💡 **Tip:** Al resolver una ecuación con valor absoluto $|x| = k$, siempre obtenemos dos soluciones: $x = k$ y $x = -k$.

Existen dos planos que cumplen las condiciones del enunciado, sustituyendo los valores de $D$ hallados: Para $D_1 = 3$: $$\pi_1 \equiv 2x - y - 2z + 3 = 0$$ Para $D_2 = -9$: $$\pi_2 \equiv 2x - y - 2z - 9 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \pi_1: 2x - y - 2z + 3 = 0 \\ \pi_2: 2x - y - 2z - 9 = 0 \end{cases}}$$