Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**A1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a - 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & 2 \\ 1 & 0 & a^2 - 5a + 5 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a - 1 & 1 & -1 \\ 0 & a - 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & a^2 - 5a + 5 & -a + 4 \end{array}\right)$$ Para estudiar el sistema según el valor de $a$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando el rango de ambas matrices a partir del determinante de $A$.

Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a - 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & 2 \\ 1 & 0 & a^2 - 5a + 5 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (a-1) \cdot (a^2-5a+5) + (a-1) \cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 1] - [1 \cdot (a-1) \cdot 1 + 0 \cdot (a-1) \cdot (a^2-5a+5) + 2 \cdot 0 \cdot 1]$$ $$|A| = (a-1)(a^2-5a+5) + 2(a-1) - (a-1)$$ $$|A| = (a-1)(a^2-5a+5) + (a-1)$$ Factorizamos $(a-1)$: $$|A| = (a-1)(a^2-5a+5 + 1) = (a-1)(a^2-5a+6)$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas factores comunes en el desarrollo del determinante, factoriza antes de operar polinomios de grado superior. Es mucho más sencillo encontrar las raíces.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores de $a$ que cambian el rango de la matriz: $$|A| = (a-1)(a^2-5a+6) = 0$$ Esto nos da dos ecuaciones: 1) $a - 1 = 0 \implies \mathbf{a = 1}$ 2) $a^2 - 5a + 6 = 0 \implies a = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2} \implies \mathbf{a = 2, a = 3}$ Los valores críticos son **$a=1$**, **$a=2$** y **$a=3$**.

Si $a \neq 1, 2, 3 \implies |A| \neq 0$. En este caso, el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = n$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, por lo que tiene una solución única para cada valor de $a$.

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, el $rg(A) \lt 3$. Vemos que el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$, por lo que **$rg(A) = 2$**. Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando una columna de los términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = [6 - 2 + 0] - [-2 - 2 + 0] = 4 + 4 = 8 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero, **$rg(A^*) = 3$**. Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)** para $a=1$.

Sustituimos $a = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, el $rg(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies **rg(A) = 2$**. Comprobamos el rango de $A^*$ con el determinante: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = [2 - 1 + 0] - [-1 + 0 + 0] = 1 + 1 = 2 \neq 0$$ Por tanto, **$rg(A^*) = 3$**. Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)** para $a=2$.

Sustituimos $a = 3$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, el $rg(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies **rg(A) = 2$**. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = [2 - 4 + 0] - [-2 + 0 + 0] = -2 + 2 = 0$$ Por tanto, **$rg(A^*) = 2$**. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** para $a=3$.

Para $a=3$, el sistema queda reducido a dos ecuaciones independientes (usamos las del menor de orden 2 seleccionado): $$\begin{cases} x + 2y + z = -1 \\ 2y + 2z = -2 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $y + z = -1 \implies y = -1 - z$. Sustituimos en la primera: $x + 2(-1 - z) + z = -1 \implies x - 2 - 2z + z = -1 \implies x - z = 1 \implies x = 1 + z$. Si llamamos $z = \lambda$: $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

Para resolver el caso general, usaremos el método de sustitución o Cramer. Partimos de las ecuaciones: 1) $x + (a-1)y + z = -1$ 2) $(a-1)y + 2z = -2 \implies (a-1)y = -2 - 2z$ Sustituimos $(a-1)y$ en la primera ecuación: $x + (-2 - 2z) + z = -1 \implies x - z - 2 = -1 \implies x = z + 1$ Ahora usamos la tercera ecuación: $x + (a^2-5a+5)z = -a+4$. Sustituimos $x$: $(z+1) + (a^2-5a+5)z = -a+4$ $z(1 + a^2-5a+5) = -a+3$ $z(a^2-5a+6) = -(a-3)$ $z(a-2)(a-3) = -(a-3)$ Como $a \neq 3$, podemos simplificar $(a-3)$: $z(a-2) = -1 \implies \mathbf{z = \dfrac{-1}{a-2}}$ Calculamos $x$: $x = 1 + \left(\dfrac{-1}{a-2}\right) = \dfrac{a-2-1}{a-2} \implies \mathbf{x = \dfrac{a-3}{a-2}}$ Calculamos $y$: $(a-1)y = -2 - 2\left(\dfrac{-1}{a-2}\right) = \dfrac{-2a+4+2}{a-2} = \dfrac{-2a+6}{a-2} = \dfrac{-2(a-3)}{a-2}$ $\mathbf{y = \dfrac{-2(a-3)}{(a-1)(a-2)}}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Si } a=3: (1+\lambda, -1-\lambda, \lambda). \text{ Si } a \neq 1,2,3: \left(\frac{a-3}{a-2}, \frac{-2(a-3)}{(a-1)(a-2)}, \frac{-1}{a-2}\right)}$$