Área entre una función trigonométrica y una polinómica

Para hallar los puntos de corte de las funciones $f(x) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right)$ y $g(x) = x^3 - 4x$, debemos igualar ambas expresiones: $$\text{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right) = x^3 - 4x$$ Esta es una ecuación trascendente que no se puede resolver mediante métodos algebraicos convencionales. Sin embargo, el enunciado indica que existen tres puntos de corte. Probamos con valores enteros sencillos del dominio: - Si $x = 0$: $f(0) = \text{sen}(0) = 0$ $g(0) = 0^3 - 4(0) = 0$ Luego, el punto **$(0, 0)$** es un punto de corte. - Si $x = 2$: $f(2) = \text{sen}(\pi) = 0$ $g(2) = 2^3 - 4(2) = 8 - 8 = 0$ Luego, el punto **$(2, 0)$** es un punto de corte. - Si $x = -2$: $f(-2) = \text{sen}(-\pi) = 0$ $g(-2) = (-2)^3 - 4(-2) = -8 + 8 = 0$ Luego, el punto **$(-2, 0)$** es un punto de corte. Como ya hemos encontrado los tres puntos que pedía el enunciado, no buscamos más. 💡 **Tip:** Ambas funciones son impares, es decir, $f(-x) = -f(x)$ y $g(-x) = -g(x)$. Esto garantiza que si $(a, b)$ es un punto de corte, $(-a, -b)$ también lo será. ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{(-2, 0), (0, 0), (2, 0)}$$

Los puntos de corte $x = -2, x = 0$ y $x = 2$ dividen la región en dos recintos de integración: 1. Recinto 1: $[-2, 0]$ 2. Recinto 2: $[0, 2]$ Determinamos qué función está por encima en el intervalo $(0, 2)$ evaluando en $x = 1$: $f(1) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ $g(1) = 1^3 - 4(1) = -3$ Como $f(1) \gt g(1)$, la función trigonométrica está por encima en el intervalo positivo. Debido a la **simetría impar** de ambas funciones respecto al origen, el área encerrada en $[-2, 0]$ será idéntica a la de $[0, 2]$. Por tanto, podemos calcular el área total como el doble de la integral en el intervalo $[0, 2]$: $$Área = 2 \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = 2 \int_{0}^{2} \left[ \text{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right) - (x^3 - 4x) \right] \, dx$$

Calculamos primero la primitiva de la función diferencia: $$\int \left[ \text{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right) - x^3 + 4x \right] \, dx$$ - Para el término trigonométrico usamos la regla $\int \text{sen}(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax)$: $$\int \text{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right) \, dx = -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2} x\right)$$ - Para los términos polinómicos usamos la regla de la potencia: $$\int (-x^3 + 4x) \, dx = -\frac{x^4}{4} + 2x^2$$ La primitiva completa es: $$F(x) = -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) - \frac{x^4}{4} + 2x^2$$

Calculamos el área del segundo recinto aplicando la Regla de Barrow en $[0, 2]$: $$\int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \left[ -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) - \frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_0^2$$ Sustituimos los límites: - En $x = 2$: $$F(2) = -\frac{2}{\pi} \cos(\pi) - \frac{2^4}{4} + 2(2^2) = -\frac{2}{\pi}(-1) - 4 + 8 = \frac{2}{\pi} + 4$$ - En $x = 0$: $$F(0) = -\frac{2}{\pi} \cos(0) - 0 + 0 = -\frac{2}{\pi}(1) = -\frac{2}{\pi}$$ Restamos: $$Área_{Recinto 2} = F(2) - F(0) = \left( \frac{2}{\pi} + 4 \right) - \left( -\frac{2}{\pi} \right) = \frac{4}{\pi} + 4$$ Multiplicamos por 2 para obtener el área total: $$Área_{Total} = 2 \cdot \left( \frac{4}{\pi} + 4 \right) = \frac{8}{\pi} + 8 \approx 10,546 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar $f-g$ obtienes un valor negativo, es porque $g$ estaba por encima de $f$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Área = \left( 8 + \frac{8}{\pi} \right) \text{ u}^2}$^