Teorema del Valor Medio aplicado a una función exponencial-potencial

**B3) Demuestra que existe $\alpha \in (0, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 3$, siendo $f(x) = (x + 1)^{(x+1)}$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. (2 puntos)** El enunciado nos pide demostrar la existencia de un valor en el que la derivada toma un valor concreto. Para ello, utilizaremos el **Teorema del Valor Medio (o de Lagrange)**. Este teorema establece que, si una función $f(x)$ cumple: 1. Es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$. Entonces existe, al menos, un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que: $$f'(\alpha) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ En este caso, el intervalo de estudio es $[a, b] = [0, 1]$. 💡 **Tip:** Siempre que te pidan demostrar que la derivada toma un valor específico en un intervalo, piensa en el Teorema del Valor Medio.

Para aplicar el Teorema del Valor Medio, debemos justificar que $f(x) = (x + 1)^{(x+1)}$ es continua en $[0, 1]$ y derivable en $(0, 1)$. Podemos expresar la función en forma exponencial: $$f(x) = e^{(x+1) \ln(x+1)}$$ El dominio de esta función viene determinado por el argumento del logaritmo: $$x + 1 \gt 0 \implies x \gt -1$$ Como el intervalo $[0, 1]$ está totalmente contenido en el dominio $( -1, +\infty )$, y al ser composición de funciones elementales (exponencial, polinómica y logarítmica) que son continuas y derivables en su dominio: - $f(x)$ es **continua** en $[0, 1]$. - $f(x)$ es **derivable** en $(0, 1)$. 💡 **Tip:** Las funciones del tipo $u(x)^{v(x)}$ se estudian mejor transformándolas a la forma $e^{v(x) \ln u(x)}$ para analizar su dominio y derivabilidad.

Calculamos los valores de la función en los extremos del intervalo $[0, 1]$: - Para $x = 0$: $$f(0) = (0 + 1)^{(0+1)} = 1^1 = 1$$ - Para $x = 1$: $$f(1) = (1 + 1)^{(1+1)} = 2^2 = 4$$ Ahora, calculamos la pendiente de la recta secante que une los puntos $(0, f(0))$ y $(1, f(1))$: $$\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{4 - 1}{1} = 3$$ Según el Teorema del Valor Medio, al cumplirse las condiciones de continuidad y derivabilidad, existe un $\alpha \in (0, 1)$ tal que: $$f'(\alpha) = 3$$ Queda así demostrado el enunciado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } \alpha \in (0, 1) \text{ tal que } f'(\alpha) = 3 \text{ por el T. de Lagrange.}}$$