Vértice de un paralelepípedo de volumen dado

**Encuentra un punto, $D$, de la recta $r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z-3}{-1}$ tal que $A, B, C$ y $D$ son vértices de un paralelepípedo de volumen $6 u^3$.** Los puntos de corte con los ejes de coordenadas se obtienen haciendo nulas dos de las tres coordenadas en la ecuación del plano $\pi \equiv 4x + 2y + z - 4 = 0$: - **Punto A (Eje OX):** Hacemos $y=0$ y $z=0$. $4x + 2(0) + (0) - 4 = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1$. Así, $\mathbf{A(1, 0, 0)}$. - **Punto B (Eje OY):** Hacemos $x=0$ y $z=0$. $4(0) + 2y + (0) - 4 = 0 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. Así, $\mathbf{B(0, 2, 0)}$. - **Punto C (Eje OZ):** Hacemos $x=0$ y $y=0$. $4(0) + 2(0) + z - 4 = 0 \implies z = 4$. Así, $\mathbf{C(0, 0, 4)}$. 💡 **Tip:** El punto de corte con el eje $X$ siempre tiene la forma $(x, 0, 0)$, con el eje $Y$ es $(0, y, 0)$ y con el eje $Z$ es $(0, 0, z)$.

El punto $D$ pertenece a la recta $r$. Para trabajar con él, pasamos la recta $r$ de su forma continua a su forma paramétrica igualando a un parámetro $\lambda$: $$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z-3}{-1} = \lambda$$ De aquí obtenemos: - $x - 1 = \lambda \implies x = 1 + \lambda$ - $y - 3 = 0 \cdot \lambda \implies y = 3$ - $z - 3 = -\lambda \implies z = 3 - \lambda$ Cualquier punto $D$ de la recta tendrá la forma: **$D(1 + \lambda, 3, 3 - \lambda)$** para algún valor de $\lambda \in \mathbb{R}$.

Para calcular el volumen del paralelepípedo que tiene como vértices $A, B, C$ y $D$, consideramos los vectores con origen común en $A$: - $\vec{AB} = B - A = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)$ - $\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, 4 - 0) = (-1, 0, 4)$ - $\vec{AD} = D - A = (1 + \lambda - 1, 3 - 0, 3 - \lambda - 0) = (\lambda, 3, 3 - \lambda)$ 💡 **Tip:** El volumen de un paralelepípedo definido por tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ viene dado por el valor absoluto de su producto mixto: $V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$.

El producto mixto de los vectores $\vec{AB}, \vec{AC}$ y $\vec{AD}$ es el determinante de la matriz formada por sus componentes: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 4 \\ \lambda & 3 & 3 - \lambda \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por una fila (usaremos Sarrus): $$ = [(-1) \cdot 0 \cdot (3-\lambda) + 2 \cdot 4 \cdot \lambda + 0 \cdot (-1) \cdot 3] - [\lambda \cdot 0 \cdot 0 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + (3-\lambda) \cdot (-1) \cdot 2]$$ $$ = [0 + 8\lambda + 0] - [0 - 12 - 2(3 - \lambda)]$$ $$ = 8\lambda - [-12 - 6 + 2\lambda] = 8\lambda - [-18 + 2\lambda]$$ $$ = 8\lambda + 18 - 2\lambda = 6\lambda + 18$$ $$\text{Producto mixto} = 6\lambda + 18$$

Sabemos que el volumen debe ser $6 u^3$, por lo que: $$|6\lambda + 18| = 6$$ Esto genera dos posibles ecuaciones debido al valor absoluto: 1. **Caso 1:** $6\lambda + 18 = 6$ $6\lambda = 6 - 18 \implies 6\lambda = -12 \implies \lambda = -2$ 2. **Caso 2:** $6\lambda + 18 = -6$ $6\lambda = -6 - 18 \implies 6\lambda = -24 \implies \lambda = -4$ Obtenemos dos posibles valores para el parámetro $\lambda$.

Sustituimos los valores de $\lambda$ en la expresión general del punto $D(1 + \lambda, 3, 3 - \lambda)$: - Para $\lambda = -2$: $D_1(1 - 2, 3, 3 - (-2)) = (-1, 3, 5)$ - Para $\lambda = -4$: $D_2(1 - 4, 3, 3 - (-4)) = (-3, 3, 7)$ Existen dos puntos en la recta $r$ que cumplen la condición. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{D_1(-1, 3, 5) \text{ y } D_2(-3, 3, 7)}$$