Ecuación matricial con traspuestas e inversas

Para hallar la matriz $X$, primero analizamos la ecuación matricial dada: $$7A - A^T = BB^T X$$ Llamemos $M = 7A - A^T$ y $N = BB^T$. La ecuación queda como: $$M = N \cdot X$$ Si la matriz $N$ es invertible (su determinante es distinto de cero), podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por la matriz inversa $N^{-1}$: $$N^{-1} \cdot M = N^{-1} \cdot N \cdot X$$ $$N^{-1} \cdot M = I \cdot X$$ $$\mathbf{X = N^{-1} \cdot M}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en el álgebra de matrices el orden de los factores importa. Como $N$ multiplica a $X$ por la izquierda, su inversa debe entrar por la izquierda.

Calculamos primero los componentes de la parte izquierda de la igualdad. Dada $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, su traspuesta $A^T$ se obtiene cambiando filas por columnas: $$A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $7A$: $$7A = 7 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos ambas matrices para obtener $M$: $$M = 7A - A^T = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -7 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-1 & 0-(-1) \\ -7-0 & 7-1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -7 & 6 \end{pmatrix}}$$

Dada la matriz $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, su traspuesta $B^T$ es: $$B^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $N = BB^T$ (una matriz $2 \times 3$ por una $3 \times 2$ da una $2 \times 2$): $$N = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$N = \begin{pmatrix} (2)(2)+(0)(0)+(-1)(-1) & (2)(1)+(0)(-1)+(-1)(0) \\ (1)(2)+(-1)(0)+(0)(-1) & (1)(1)+(-1)(-1)+(0)(0) \end{pmatrix}$$ $$N = \begin{pmatrix} 4+0+1 & 2+0+0 \\ 2+0+0 & 1+1+0 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{N = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para que $N$ sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero: $$|N| = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (5 \cdot 2) - (2 \cdot 2) = 10 - 4 = 6 \neq 0$$ Como $|N| \neq 0$, existe $N^{-1}$. La calculamos mediante la fórmula $N^{-1} = \frac{1}{|N|} \text{Adj}(N)^T$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(N)$: - $adj(n_{11}) = 2$ - $adj(n_{12}) = -2$ - $adj(n_{21}) = -2$ - $adj(n_{22}) = 5$ $$\text{Adj}(N) = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$ Como la matriz es simétrica, su traspuesta es igual: $$N^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X = N^{-1} \cdot M$: $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -7 & 6 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices: $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} (2)(6)+(-2)(-7) & (2)(1)+(-2)(6) \\ (-2)(6)+(5)(-7) & (-2)(1)+(5)(6) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 12+14 & 2-12 \\ -12-35 & -2+30 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 26 & -10 \\ -47 & 28 \end{pmatrix}$$ Simplificamos los elementos de la matriz dividiendo por 6 cuando sea posible: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \frac{13}{3} & -\frac{5}{3} \\ -\frac{47}{6} & \frac{14}{3} \end{pmatrix}}$$