Cálculo de integrales indefinidas

**Calcula la siguiente integral indefinida: $$ \int \frac{dx}{x^2 - x - 2} \quad (1 \text{ punto}) $$** Observamos que se trata de una **integral racional** donde el grado del numerador (0) es menor que el del denominador (2). El primer paso es factorizar el denominador resolviendo la ecuación $x^2 - x - 2 = 0$: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 2$ y $x_2 = -1$. Por tanto, el denominador se factoriza como: $$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$$ 💡 **Tip:** Para integrar funciones racionales, si el denominador tiene raíces reales distintas, utilizamos el método de descomposición en fracciones simples.

Planteamos la descomposición de la fracción original en la suma de dos fracciones simples: $$\frac{1}{x^2 - x - 2} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras obtener el común denominador: $$1 = A(x + 1) + B(x - 2)$$ Sustituimos los valores de las raíces para simplificar el cálculo: - Si **$x = 2$**: $1 = A(2 + 1) + B(0) \implies 1 = 3A \implies \mathbf{A = \frac{1}{3}}$ - Si **$x = -1$**: $1 = A(0) + B(-1 - 2) \implies 1 = -3B \implies \mathbf{B = -\frac{1}{3}}$ Por tanto: $$\frac{1}{x^2 - x - 2} = \frac{1/3}{x - 2} - \frac{1/3}{x + 1}$$

Aplicamos la linealidad de la integral e integramos cada término por separado: $$\int \frac{dx}{x^2 - x - 2} = \int \left( \frac{1/3}{x - 2} - \frac{1/3}{x + 1} \right) dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 2} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} dx$$ Como son integrales de tipo logarítmico inmediato: $$\frac{1}{3} \ln|x - 2| - \frac{1}{3} \ln|x + 1| + C$$ Podemos simplificar usando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$): ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{dx}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 1} \right| + C}$$

**Calcula la siguiente integral indefinida: $$ \int x^2 e^{2x} dx \quad (1 \text{ punto}) $$** Esta integral se resuelve mediante el método de **integración por partes**. Siguiendo la regla **ALPES**, elegimos $u$ como la función polinómica para que su grado disminuya al derivar. Elegimos: - $u = x^2 \implies du = 2x dx$ - $dv = e^{2x} dx \implies v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x}$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Aplicamos la fórmula: $$\int x^2 e^{2x} dx = x^2 \cdot \left( \frac{1}{2} e^{2x} \right) - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cdot 2x dx = \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \int x e^{2x} dx$$

La nueva integral $\int x e^{2x} dx$ requiere aplicar de nuevo el método por partes: Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{2x} dx \implies v = \frac{1}{2} e^{2x}$ Aplicamos la fórmula de nuevo: $$\int x e^{2x} dx = x \cdot \left( \frac{1}{2} e^{2x} \right) - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} dx$$ Resolvemos la integral inmediata restante: $$\int x e^{2x} dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \right) = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x}$$

Sustituimos el resultado obtenido en la expresión de la primera etapa: $$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \left( \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} \right) + C$$ $$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \frac{1}{2} x e^{2x} + \frac{1}{4} e^{2x} + C$$ Para una presentación más elegante, sacamos factor común $e^{2x}$ y el denominador común $4$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x^2 e^{2x} dx = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \right) e^{2x} + C}$$