Perpendicularidad, intersección y distancias en el espacio

**Comprueba que las rectas $r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-1}{-2}$ y $s \equiv \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+3}{2}$ se cortan perpendicularmente y halla el punto de corte, $P$.** Primero, identificamos los vectores directores de cada recta a partir de sus denominadores en la forma continua: - Vector director de $r$: $\vec{u}_r = (1, 2, -2)$ - Vector director de $s$: $\vec{v}_s = (2, 1, 2)$ Dos rectas son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores directores es cero: $$\vec{u}_r \cdot \vec{v}_s = (1)(2) + (2)(1) + (-2)(2) = 2 + 2 - 4 = 0$$ Como el producto escalar es nulo, los vectores son ortogonales, lo que implica que las rectas **son perpendiculares**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que dos rectas se corten perpendicularmente no basta con que sus vectores sean ortogonales (podrían cruzarse); debemos comprobar después que existe un punto común.

Para hallar el punto de corte, expresamos ambas rectas en ecuaciones paramétricas utilizando parámetros distintos ($\lambda$ para $r$ y $\mu$ para $s$): $$ r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 2\mu \\ y = \mu \\ z = -3 + 2\mu \end{cases} $$ Igualamos las coordenadas $x$, $y$ y $z$ para encontrar los valores de los parámetros en el punto de corte: 1. $1 + \lambda = 2\mu$ 2. $-1 + 2\lambda = \mu$ 3. $1 - 2\lambda = -3 + 2\mu$ De la ecuación (2), tenemos $\mu = 2\lambda - 1$. Sustituimos en la (1): $$1 + \lambda = 2(2\lambda - 1) \implies 1 + \lambda = 4\lambda - 2 \implies 3 = 3\lambda \implies \lambda = 1$$ Calculamos $\mu$ con $\lambda = 1$: $\mu = 2(1) - 1 = 1$. Verificamos en la ecuación (3): $1 - 2(1) = -3 + 2(1) \implies -1 = -1$ (Se cumple). Sustituimos $\lambda = 1$ en $r$ (o $\mu = 1$ en $s$) para obtener el punto $P$: $$P = (1+1, -1+2, 1-2) = (2, 1, -1)$$ ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{P(2, 1, -1)}$$

**Encuentra un punto $R \in r$ y un punto $S \in s$ de forma que $P, R, S$ sean vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos son de longitud 3.** Dado que las rectas se cortan perpendicularmente en $P$, el triángulo $PRS$ será rectángulo en $P$. Los catetos son los segmentos $PR$ (sobre la recta $r$) y $PS$ (sobre la recta $s$). Buscamos $R \in r$ tal que $d(P, R) = 3$. La distancia entre el punto de corte $P$ (que corresponde a $\lambda = 1$) y cualquier punto de $r$ es: $$d(P, R(\lambda)) = \sqrt{(1+\lambda - 2)^2 + (-1+2\lambda - 1)^2 + (1-2\lambda - (-1))^2}$$ $$d(P, R(\lambda)) = \sqrt{(\lambda-1)^2 + (2\lambda-2)^2 + (2-2\lambda)^2} = \sqrt{(\lambda-1)^2 + 4(\lambda-1)^2 + 4(\lambda-1)^2}$$ $$3 = \sqrt{9(\lambda-1)^2} = 3|\lambda-1| \implies |\lambda-1| = 1$$ Esto nos da dos posibles valores: $\lambda = 2$ o $\lambda = 0$. Elegimos, por ejemplo, **$\lambda = 2$**: $$R = (1+2, -1+2(2), 1-2(2)) = (3, 3, -3)$$ 💡 **Tip:** También podías observar que el módulo del vector director $|\vec{u}_r| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3$. Por tanto, el punto $R$ se obtiene sumando o restando el vector director directamente al punto $P$.

Buscamos $S \in s$ tal que $d(P, S) = 3$. Dado que $P$ corresponde a $\mu = 1$ en la recta $s$: $$d(P, S(\mu)) = \sqrt{(2\mu - 2)^2 + (\mu - 1)^2 + (-3+2\mu - (-1))^2}$$ $$3 = \sqrt{4(\mu-1)^2 + (\mu-1)^2 + 4(\mu-1)^2} = \sqrt{9(\mu-1)^2} = 3|\mu-1| \implies |\mu-1| = 1$$ Esto nos da $\mu = 2$ o $\mu = 0$. Elegimos, por ejemplo, **$\mu = 2$**: $$S = (2(2), 2, -3+2(2)) = (4, 2, 1)$$ ✅ **Resultado (puntos R y S):** $$\boxed{R(3, 3, -3), \quad S(4, 2, 1)}$$ *(Nota: Existen otras soluciones válidas combinando los valores hallados de $\lambda$ y $\mu$)*