Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & a^2+2 & 3 \\ -2 & -(a^2+2) & a-3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 1 \\ 2 & a^2+2 & 3 & 3 \\ -2 & -(a^2+2) & a-3 & \sqrt{2}-3 \end{pmatrix}$$ Para facilitar el estudio de los rangos, podemos realizar una operación elemental entre filas en $A^*$. Si sumamos la segunda fila a la tercera ($F_3 \leftarrow F_3 + F_2$), obtenemos una matriz equivalente más sencilla: $$A^* \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 1 \\ 2 & a^2+2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & a & \sqrt{2} \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Realizar operaciones elementales de fila al inicio ayuda a simplificar tanto el cálculo del determinante como la discusión posterior de los rangos.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la matriz simplificada obtenida en el paso anterior: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & a^2+2 & 3 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila, ya que tiene dos ceros: $$|A| = a \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & a^2+2 \end{vmatrix} = a \left[ 2(a^2+2) - 8 \right] = a(2a^2 + 4 - 8) = a(2a^2 - 4)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$2a(a^2 - 2) = 0 \implies \begin{cases} a = 0 \\ a^2 = 2 \implies a = \pm\sqrt{2} \end{cases}$$ Los valores que debemos estudiar son $a = 0$, $a = \sqrt{2}$ y $a = -\sqrt{2}$.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los rangos de $A$ y $A^*$: * **Caso 1: $a \neq 0$ y $a \neq \pm\sqrt{2}$** Como $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 3$. Dado que el rango de la ampliada no puede ser mayor que el número de columnas de $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al coincidir con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. * **Caso 2: $a = 0$** La matriz simplificada queda: $$A^* \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$$ En la última fila, $0 = \sqrt{2}$ es imposible. Por tanto, $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. * **Caso 3: $a = \sqrt{2}$** $$A^* \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix}$$ Observamos que $C_2 = 2C_1$ y $C_4 = C_3$. El determinante de cualquier menor de orden 3 será 0. El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg} < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. * **Caso 4: $a = -\sqrt{2}$** $$A^* \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix}$$ Aquí $C_2 = 2C_1$, pero $C_3$ y $C_4$ no son proporcionales en la última fila. Estudiamos el menor formado por $C_1, C_3$ y $C_4$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \end{vmatrix} = 2(3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) - 2(\sqrt{2} + \sqrt{2}) = 12\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \neq 0$$ Así, $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$ el sistema es compatible, y si además es igual al número de incógnitas, la solución es única.

Para el caso **SCD**, usamos la matriz escalonada del paso 1: 1) $2x + 4y + z = 1$ 2) $2x + (a^2+2)y + 3z = 3$ 3) $az = \sqrt{2} \implies \mathbf{z = \dfrac{\sqrt{2}}{a}}$ Restamos la ecuación (1) a la (2): $$(a^2+2-4)y + 2z = 2 \implies (a^2-2)y = 2 - 2z = 2 - \dfrac{2\sqrt{2}}{a} = \dfrac{2a - 2\sqrt{2}}{a}$$ $$y = \dfrac{2(a-\sqrt{2})}{a(a^2-2)} = \dfrac{2(a-\sqrt{2})}{a(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})} \implies \mathbf{y = \dfrac{2}{a(a+\sqrt{2})}}$$ Sustituimos $y$ y $z$ en (1) para hallar $x$: $$2x = 1 - 4y - z = 1 - \dfrac{8}{a(a+\sqrt{2})} - \dfrac{\sqrt{2}}{a} = \dfrac{a(a+\sqrt{2}) - 8 - \sqrt{2}(a+\sqrt{2})}{a(a+\sqrt{2})}$$ $$2x = \dfrac{a^2 + a\sqrt{2} - 8 - a\sqrt{2} - 2}{a(a+\sqrt{2})} = \dfrac{a^2 - 10}{a(a+\sqrt{2})} \implies \mathbf{x = \dfrac{a^2 - 10}{2a(a+\sqrt{2})}}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \dfrac{a^2 - 10}{2a(a+\sqrt{2})}, \quad y = \dfrac{2}{a(a+\sqrt{2})}, \quad z = \dfrac{\sqrt{2}}{a}}$$

Para $a = \sqrt{2}$, el sistema se reduce a dos ecuaciones (la 3ª es proporcional a la diferencia de las otras): $$\begin{cases} 2x + 4y + z = 1 \\ \sqrt{2}z = \sqrt{2} \implies z = 1 \end{cases}$$ Sustituyendo $z=1$ en la primera: $$2x + 4y + 1 = 1 \implies 2x + 4y = 0 \implies x = -2y$$ Tomamos $y = \lambda$ como parámetro real $(\lambda \in \mathbb{R})$: $$\begin{cases} x = -2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (-2\lambda, \lambda, 1) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$