Probabilidad y Estadística 2017 Madrid
Probabilidad de actividades de ocio y compañía
Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.
El 40% de los sábados Marta va al cine, el 30% va de compras y el 30% restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el 60% de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo le ocurre el 20% de las veces que va de compras, y el 80% de las veces que juega a videojuegos. Se pide:
a) (1 punto) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto.
b) (1 punto) Si se sabe que Marta ha quedado con los compañeros de baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que vayan al cine?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1 punto) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $C$: Marta va al cine.
- $S$: Marta va de compras.
- $V$: Marta juega a videojuegos.
- $B$: Marta queda con sus compañeros de baloncesto.
- $\bar{B}$: Marta **no** queda con sus compañeros de baloncesto.
Extraemos las probabilidades del enunciado:
- $P(C) = 0,40$
- $P(S) = 0,30$
- $P(V) = 0,30$
Probabilidades condicionadas (compañeros de baloncesto):
- $P(B|C) = 0,60 \implies P(\bar{B}|C) = 1 - 0,60 = 0,40$
- $P(B|S) = 0,20 \implies P(\bar{B}|S) = 1 - 0,20 = 0,80$
- $P(B|V) = 0,80 \implies P(\bar{B}|V) = 1 - 0,80 = 0,20$
Representamos la situación con un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar $P(\bar{B})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de todas las ramas que terminan en $\bar{B}$:
$$P(\bar{B}) = P(C) \cdot P(\bar{B}|C) + P(S) \cdot P(\bar{B}|S) + P(V) \cdot P(\bar{B}|V)$$
Sustituimos los valores numéricos:
$$P(\bar{B}) = (0,40 \cdot 0,40) + (0,30 \cdot 0,80) + (0,30 \cdot 0,20)$$
$$P(\bar{B}) = 0,16 + 0,24 + 0,06 = 0,46$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{B}) = 0,46}$$
(Existe un **46%** de probabilidad de que Marta no quede con sus compañeros).
Paso 3
Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1 punto) Si se sabe que Marta ha quedado con los compañeros de baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que vayan al cine?**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: $P(C|B)$. Utilizaremos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{P(C) \cdot P(B|C)}{P(B)}$$
Primero, calculamos $P(B)$. Como sabemos que $P(B) + P(\bar{B}) = 1$, podemos obtenerlo directamente del apartado anterior:
$$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0,46 = 0,54$$
Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (ir al cine y estar con compañeros):
$$P(C \cap B) = P(C) \cdot P(B|C) = 0,40 \cdot 0,60 = 0,24$$
Sustituimos en la fórmula de Bayes:
$$P(C|B) = \frac{0,24}{0,54} = \frac{24}{54}$$
Simplificamos la fracción dividiendo entre 6:
$$P(C|B) = \frac{4}{9} \approx 0,4444$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (ha quedado con compañeros) y queremos saber la probabilidad de una de las causas que lo ha producido (ir al cine).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|B) = \frac{4}{9} \approx 0,4444}$$