Geometría en el Espacio: Distancia entre Rectas y Corte Recta-Plano

**a) (1 punto) Determine la distancia entre las rectas $r_1 \equiv x = y = z$ y $r_2 \equiv \begin{cases} x + y - 1 = 0, \\ x - z + 1 = 0. \end{cases}$** Primero, identificamos un punto y un vector director para cada recta. Para $r_1$ (en forma continua $x/1 = y/1 = z/1$): - Punto $P_1(0, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_1 = (1, 1, 1)$ Para $r_2$, resolvemos el sistema para obtener sus ecuaciones paramétricas. Si hacemos $x = t$: - $t + y - 1 = 0 \implies y = 1 - t$ - $t - z + 1 = 0 \implies z = t + 1$ Así, para $r_2$: - Punto $P_2(0, 1, 1)$ - Vector director $\vec{v}_2 = (1, -1, 1)$ Definimos el vector que une ambos puntos: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (0, 1, 1)$. 💡 **Tip:** Para pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables y despejar las demás.

Calculamos el producto vectorial de los vectores directores para ver si las rectas son paralelas o se cruzan: $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (1 \cdot 1)\mathbf{i} + (1 \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot (-1))\mathbf{k} - (1 \cdot 1)\mathbf{k} - ((-1) \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 1)\mathbf{j}$$ $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k} - \mathbf{k} + \mathbf{i} - \mathbf{j} = 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (2, 0, -2)$$ Como el producto vectorial no es nulo, las rectas no son paralelas. Ahora calculamos el producto mixto $[\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2]$ para comprobar si se cruzan: $$[\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2] = \vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (0, 1, 1) \cdot (2, 0, -2) = 0 + 0 - 2 = -2$$ Como el producto mixto es distinto de cero, las rectas **se cruzan** en el espacio.

La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula mediante la fórmula basada en el volumen del paralelepípedo: $$d(r_1, r_2) = \frac{|[\vec{P_1P_2}, \vec{v}_1, \vec{v}_2]|}{ |\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| }$$ Calculamos el módulo del producto vectorial: $$|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ Sustituimos en la fórmula: $$d(r_1, r_2) = \frac{|-2|}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre rectas que se cruzan es la altura del paralelepípedo formado por los vectores directores y el vector que une puntos de ambas rectas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r_1, r_2) = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ u}}$$

**b) (1 punto) Obtenga el punto de corte de la recta $s \equiv x = 2 - y = z - 1$ con el plano perpendicular a $s$, que pasa por el origen.** Primero, escribimos la recta $s$ para identificar sus elementos: $$s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{1}$$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, -1, 1)$ - Ecuaciones paramétricas: $\begin{cases} x = \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$ El plano $\pi$ es perpendicular a $s$, por lo que su vector normal $\vec{n}_\pi$ es igual al vector director de la recta: $$\vec{n}_\pi = (1, -1, 1)$$ La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del normal: $$1x - 1y + 1z + D = 0 \implies x - y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por el origen $(0,0,0)$: $$0 - 0 + 0 + D = 0 \implies D = 0$$ Ecuación del plano: $$\pi \equiv x - y + z = 0$$

Para hallar el punto de corte, sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ en la ecuación del plano $\pi$: $$(\lambda) - (2 - \lambda) + (1 + \lambda) = 0$$ $$2\lambda - 2 + 1 + \lambda = 0$$ $$3\lambda - 1 = 0 \implies \lambda = \frac{1}{3}$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las ecuaciones de la recta para obtener las coordenadas del punto $P$: - $x = \frac{1}{3}$ - $y = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ - $z = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ 💡 **Tip:** La intersección de una recta con un plano se resuelve siempre más fácilmente usando las paramétricas de la recta y la implícita del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{4}{3}\right)}$$