Inversa de una matriz, propiedades de la inversa y determinantes

**a) (1 punto) Determinar la matriz $P^{-1}$, inversa de la matriz $P$.** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $P$ utilizando la regla de Sarrus: $$|P| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = (1\cdot 2\cdot 2) + (2\cdot 2\cdot 2) + (3\cdot 3\cdot 1) - (1\cdot 2\cdot 2) - (1\cdot 3\cdot 2) - (2\cdot 3\cdot 2)$$ $$|P| = (4 + 8 + 9) - (4 + 6 + 12) = 21 - 22 = -1$$ Como $|P| = -1 \neq 0$, la matriz $P$ es regular y, por tanto, existe $P^{-1}$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (regular) si y solo si su determinante es distinto de cero.

Calculamos ahora la matriz de los adjuntos de $P$, denotada como $\text{Adj}(P)$: - $P_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2$ - $P_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(6 - 4) = -2$ - $P_{13} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 4 = 5$ - $P_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(4 - 3) = -1$ - $P_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0$ - $P_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 4) = 1$ - $P_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2$ - $P_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 3) = 1$ - $P_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 6 = -4$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(P) = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 5 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -4 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz adjunta: $$(\text{Adj}(P))^T = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & -4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $P^{-1} = \frac{1}{|P|} (\text{Adj}(P))^T$: $$P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -5 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -5 & -1 & 4 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Determinar la matriz $B^{-1}$, inversa de la matriz $B = P^{-1}J^{-1}$.** En lugar de calcular $B$ para luego hallar su inversa, aplicamos las propiedades de la matriz inversa. Sabemos que la inversa de un producto es el producto de las inversas en orden invertido: $$(X \cdot Y)^{-1} = Y^{-1} \cdot X^{-1}$$ En nuestro caso: $$B^{-1} = (P^{-1} \cdot J^{-1})^{-1} = (J^{-1})^{-1} \cdot (P^{-1})^{-1}$$ Como la inversa de la inversa es la matriz original ($(M^{-1})^{-1} = M$): $$B^{-1} = J \cdot P$$ 💡 **Tip:** Usar propiedades de matrices ahorra mucho tiempo de cálculo y reduce la posibilidad de errores aritméticos.

Procedemos a realizar el producto de las matrices $J$ y $P$: $$B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos fila por columna: - Fila 1: $(-1\cdot 1 + 0 + 0, -1\cdot 2 + 0 + 0, -1\cdot 1 + 0 + 0) = (-1, -2, -1)$ - Fila 2: $(0 + 2\cdot 3 + 0, 0 + 2\cdot 2 + 0, 0 + 2\cdot 2 + 0) = (6, 4, 4)$ - Fila 3: $(0 + 0 + 1\cdot 2, 0 + 0 + 1\cdot 3, 0 + 0 + 1\cdot 2) = (2, 3, 2)$ ✅ **Resultado (matriz B^-1):** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 6 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz $A^2$, siendo $A = PJP^{-1}$.** Para calcular el determinante de $A^2$, utilizamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. El determinante del producto es el producto de los determinantes: $|X \cdot Y| = |X| \cdot |Y|$. 2. El determinante de la inversa es el inverso del determinante: $|X^{-1}| = \frac{1}{|X|}$. 3. $|X^2| = |X \cdot X| = |X|^2$. Calculamos primero $|A|$: $$|A| = |P \cdot J \cdot P^{-1}| = |P| \cdot |J| \cdot |P^{-1}| = |P| \cdot |J| \cdot \frac{1}{|P|}$$ Como $|P|$ se cancela con $\frac{1}{|P|}$: $$|A| = |J|$$ Como $J$ es una matriz diagonal, su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal: $$|J| = (-1) \cdot 2 \cdot 1 = -2$$ Por tanto: $$|A^2| = |A|^2 = (-2)^2 = 4$$ ✅ **Resultado (determinante):** $$\boxed{|A^2| = 4}$$