Límites, Recta Tangente y Área entre Curvas

**a) (1 punto) Calcular $\lim_{x \to 0} \left( f(x) - \frac{2}{g(x)} \right)$.** Sustituimos las expresiones de $f(x)$ y $g(x)$ en el límite: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{x} - \frac{2}{\text{sen}(x)} \right)$$ Si evaluamos directamente cuando $x \to 0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\infty - \infty$. Para resolverla, realizamos la resta de fracciones buscando un denominador común: $$\lim_{x \to 0} \frac{2\,\text{sen}(x) - 2x}{x\,\text{sen}(x)}$$ Al evaluar ahora en $x = 0$, obtenemos la forma $\frac{0}{0}$, lo que nos permite aplicar la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital, la función debe presentar una indeterminación del tipo $0/0$ o $\infty/\infty$ y ser derivable en el entorno del punto.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $(2\,\text{sen}(x) - 2x)' = 2\cos(x) - 2$ - Denominador: $(x\,\text{sen}(x))' = 1 \cdot \text{sen}(x) + x\cos(x)$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x) - 2}{\text{sen}(x) + x\cos(x)}$$ Evaluamos de nuevo en $x=0$: $$\frac{2\cos(0) - 2}{\text{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0)} = \frac{2-2}{0+0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos L'Hôpital por segunda vez: - Nuevo numerador: $(2\cos(x) - 2)' = -2\text{sen}(x)$ - Nuevo denominador: $(\text{sen}(x) + x\cos(x))' = \cos(x) + 1 \cdot \cos(x) + x(-\text{sen}(x)) = 2\cos(x) - x\text{sen}(x)$ Calculamos el límite final: $$\lim_{x \to 0} \frac{-2\text{sen}(x)}{2\cos(x) - x\text{sen}(x)} = \frac{-2\text{sen}(0)}{2\cos(0) - 0 \cdot \text{sen}(0)} = \frac{0}{2-0} = 0$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{0}$$

**b) (0.75 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en el punto $(\frac{1}{2}, 4)$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $(x_0, y_0)$ viene dada por: $$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$ En este caso, $x_0 = \frac{1}{2}$ y $y_0 = f(\frac{1}{2}) = 4$. Necesitamos calcular la pendiente $m = f'(\frac{1}{2})$. Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{2}{x}$: $$f'(x) = -\frac{2}{x^2}$$ Evaluamos la derivada en $x = \frac{1}{2}$: $$m = f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{(\frac{1}{2})^2} = -\frac{2}{\frac{1}{4}} = -8$$ Sustituimos en la fórmula de la recta: $$y - 4 = -8\left(x - \frac{1}{2}\right)$$ $$y - 4 = -8x + 4 \implies y = -8x + 8$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto. ✅ **Resultado de la recta tangente:** $$\boxed{y = -8x + 8}$$

**c) (1.25 puntos) Calcular el área delimitada por la curva $y = f(x)$ y la recta $y = -x + 3$.** Primero buscamos los puntos de intersección entre $f(x) = \frac{2}{x}$ y $y = -x + 3$ igualando ambas expresiones: $$\frac{2}{x} = -x + 3$$ Multiplicamos por $x$ (sabiendo que $x \neq 0$): $$2 = -x^2 + 3x \implies x^2 - 3x + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Los puntos de corte son **$x = 1$** y **$x = 2$**. Determinamos qué función está por encima en el intervalo $(1, 2)$. Probamos con $x = 1.5$: - $f(1.5) = \frac{2}{1.5} = \frac{4}{3} \approx 1.33$ - $y(1.5) = -1.5 + 3 = 1.5$ Como $1.5 > 1.33$, la recta está por encima de la curva. 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $g(x)$ y $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ es $\int_{a}^{b} |g(x) - f(x)| dx$.

Planteamos la integral definida entre los límites de corte: $$A = \int_{1}^{2} \left[ (-x + 3) - \frac{2}{x} \right] dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int \left( -x + 3 - \frac{2}{x} \right) dx = -\frac{x^2}{2} + 3x - 2\ln|x|$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^2}{2} + 3x - 2\ln|x| \right]_{1}^{2}$$ $$A = \left( -\frac{2^2}{2} + 3(2) - 2\ln(2) \right) - \left( -\frac{1^2}{2} + 3(1) - 2\ln(1) \right)$$ $$A = (-2 + 6 - 2\ln 2) - \left( -\frac{1}{2} + 3 - 0 \right)$$ $$A = (4 - 2\ln 2) - \frac{5}{2} = 4 - 2.5 - 2\ln 2 = 1.5 - 2\ln 2$$ Como $2\ln 2 = \ln 2^2 = \ln 4$: $$A = \frac{3}{2} - \ln 4 \approx 1.5 - 1.386 = 0.114$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = \frac{3}{2} - 2\ln 2 \text{ u}^2}$$