Estudio de una función racional e integración

**a) (0.5 puntos) Determinar su dominio y asíntotas verticales.** Para determinar el dominio de una función racional, debemos identificar los valores que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida. Planteamos la ecuación del denominador: $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$ Por tanto, el dominio de la función es todos los números reales excepto el $2$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x : Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Comprobamos el límite de la función cuando $x$ tiende a $2$: $$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x + 6}{x - 2} = \frac{2^2 + 2 + 6}{2 - 2} = \frac{12}{0} = \infty$$ Al ser un límite infinito, confirmamos que existe una asíntota vertical en $x = 2$. Calculamos los límites laterales para conocer el comportamiento: - Por la izquierda ($x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} \frac{12}{0^-} = -\infty$ - Por la derecha ($x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} \frac{12}{0^+} = +\infty$ ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 2}$$

**b) (0.5 puntos) Calcular $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.** Sustituimos la expresión de $f(x)$ en el límite: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2 + x + 6}{x - 2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 6}{x(x - 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 6}{x^2 - 2x}$$ Como tenemos un límite de un cociente de polinomios del mismo grado ($2$) cuando $x \to \infty$, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \infty} \frac{1x^2 + x + 6}{1x^2 - 2x} = \frac{1}{1} = 1$$ 💡 **Tip:** Este límite representa la pendiente $m$ de la posible asíntota oblicua de la función. ✅ **Resultado:** $$\boxed{1}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_3^5 f(x) dx$.** Para integrar la función racional $\frac{x^2 + x + 6}{x - 2}$, dado que el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, realizamos primero la división polinómica: $$\begin{array}{r|rr} x^2 + x + 6 & x - 2 \\ \hline -(x^2 - 2x) & x + 3 \\ 3x + 6 \\ -(3x - 6) \\ 12 \end{array}$$ Por la propiedad de la división (Dividendo = Divisor $\cdot$ Cociente + Resto), tenemos: $$\frac{x^2 + x + 6}{x - 2} = (x + 3) + \frac{12}{x - 2}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea $\ge$ al del denominador, divide para simplificar la integral.

Ahora integramos término a término aplicando la Regla de Barrow: $$\int_3^5 \left( x + 3 + \frac{12}{x - 2} \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 3x + 12\ln|x - 2| \right]_3^5$$ Calculamos el valor en los límites superior ($5$) e inferior ($3$): - Para $x = 5$: $F(5) = \frac{5^2}{2} + 3(5) + 12\ln|5 - 2| = \frac{25}{2} + 15 + 12\ln(3) = \frac{55}{2} + 12\ln(3)$ - Para $x = 3$: $F(3) = \frac{3^2}{2} + 3(3) + 12\ln|3 - 2| = \frac{9}{2} + 9 + 12\ln(1) = \frac{27}{2} + 0 = \frac{27}{2}$ Restamos los valores: $$\left( \frac{55}{2} + 12\ln(3) \right) - \left( \frac{27}{2} \right) = \frac{28}{2} + 12\ln(3) = 14 + 12\ln(3)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{14 + 12\ln(3)}$$ (Aproximadamente $27.18$)