Estudio de la concentración de un medicamento

Para encontrar el valor máximo de la concentración $c(t)$, primero debemos calcular su derivada $c'(t)$ para localizar los puntos críticos. La función es $c(t) = te^{-t/2}$. Aplicamos la regla de la derivada de un producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: - Sea $u = t \implies u' = 1$ - Sea $v = e^{-t/2} \implies v' = e^{-t/2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ $$c'(t) = 1 \cdot e^{-t/2} + t \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-t/2}\right)$$ $$c'(t) = e^{-t/2} - \frac{t}{2}e^{-t/2}$$ Factorizamos $e^{-t/2}$ para simplificar la expresión: $$c'(t) = e^{-t/2} \left(1 - \frac{t}{2}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{f(x)}$ es $f'(x)e^{f(x)}$. En este caso, la derivada del exponente $-t/2$ es $-1/2$. $$\boxed{c'(t) = e^{-t/2} \left(1 - \frac{t}{2}\right)}$$

Los puntos críticos ocurren donde la derivada es igual a cero: $$c'(t) = 0 \implies e^{-t/2} \left(1 - \frac{t}{2}\right) = 0$$ Como la función exponencial $e^{-t/2}$ nunca es cero para ningún valor de $t$, la única posibilidad es que el factor entre paréntesis sea nulo: $$1 - \frac{t}{2} = 0 \implies 1 = \frac{t}{2} \implies t = 2$$ El único punto crítico se encuentra en **$t = 2$ horas**. Debemos comprobar ahora si este punto corresponde a un máximo relativo. $$\boxed{t = 2}$$

Analizamos el signo de $c'(t)$ a ambos lados de $t = 2$ para determinar el crecimiento y decrecimiento de la función. Dado que el tiempo $t$ debe ser positivo ($t \ge 0$), estudiamos los intervalos $(0, 2)$ y $(2, +\infty)$. Como $e^{-t/2}$ es siempre positivo, el signo de $c'(t)$ depende exclusivamente de $(1 - t/2)$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\\hline 1 - t/2 & + & 0 & -\\\hline c'(t) & + & 0 & -\\\hline c(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, 2)$, $c'(t) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(2, +\infty)$, $c'(t) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. Al pasar de creciente a decreciente en $t=2$, confirmamos que existe un **máximo relativo** en ese instante. 💡 **Tip:** En problemas de optimización de funciones continuas con un único extremo relativo en el dominio, este suele ser el extremo absoluto buscado.

Calculamos el valor de la concentración máxima sustituyendo $t = 2$ en la función original $c(t)$: $$c(2) = 2 \cdot e^{-2/2} = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e}$$ Utilizamos el valor aproximado de $e \approx 2,718$ para obtener el valor numérico: $$c(2) = \frac{2}{2,71828...} \approx 0,7358 \text{ mg/ml}$$ El enunciado indica que el límite de seguridad es de $1$ mg/ml. Comparamos nuestro resultado: $$0,7358 \lt 1$$ Como la concentración máxima alcanzada es aproximadamente $0,736$ mg/ml, que es menor que $1$ mg/ml, concluimos que **no hay riesgo para el paciente** en ningún momento. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo en } t = 2 \text{ h con } c(2) = \frac{2}{e} \text{ mg/ml. No hay riesgo.}}$$