Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) (2 puntos) Discutirlo en función de los valores del parámetro real $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & -4 & a+1 \\ 0 & 4 & -a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & a & 1 & a \\ 1 & -4 & a+1 & 1 \\ 0 & 4 & -a & 0 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, estudiaremos el rango de estas matrices utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & -4 & a+1 \\ 0 & 4 & -a \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot (-4) \cdot (-a) + a \cdot (a+1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 4] - [0 \cdot (-4) \cdot 1 + 4 \cdot (a+1) \cdot 2 + (-a) \cdot a \cdot 1]$$ $$|A| = (8a + 0 + 4) - (0 + 8a + 8 - a^2)$$ $$|A| = 8a + 4 - 8a - 8 + a^2 = a^2 - 4$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^2 - 4 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos indica para qué valores el rango de la matriz es máximo (igual a 3).

Si $a \neq 2$ y $a \neq -2$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3$$ $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Como el número de incógnitas también es $n = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única para cada valor de $a$. $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}, \text{ el sistema es SCD}}$$

Si $a = 2$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Sustituimos $a = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & 0 \end{array}\right)$$ Estudiamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -8 - 2 = -10 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ comprobando los menores de orden 3 que incluyan la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad (\text{la columna 1 y la 3 son iguales})$$ Como todos los menores de orden 3 de $A^*$ son nulos, $\text{rg}(A^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ el sistema es SCI}}$$

Si $a = -2$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Sustituimos $a = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -4 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}\right)$$ Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -8 + 2 = -6 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ comprobando el menor formado por las columnas 2, 3 y la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & -2 \\ -4 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 4 + 16 - (8 - 4 + 0) = 20 - 4 = 16 \neq 0$$ O bien, el menor con columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 - 8 - (0 + 8 + 0) = -16 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. $$\boxed{\text{Si } a = -2, \text{ el sistema es SI}}$$

**b) (0.5 puntos) Resolver el sistema para $a = 1$.** Como vimos en el apartado (a), para $a = 1$ el sistema es SCD. Sustituimos $a=1$: $$ \begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x - 4y + 2z = 1 \\ 4y - z = 0 \end{cases} $$ De la tercera ecuación: $z = 4y$. Sustituimos en las otras dos: 1. $2x + y + 4y = 1 \implies 2x + 5y = 1$ 2. $x - 4y + 2(4y) = 1 \implies x + 4y = 1 \implies x = 1 - 4y$ Sustituimos $x$ en la primera simplificada: $$2(1 - 4y) + 5y = 1 \implies 2 - 8y + 5y = 1$$ $$-3y = -1 \implies y = 1/3$$ Calculamos $x$ y $z$: $$x = 1 - 4(1/3) = 3/3 - 4/3 = -1/3$$ $$z = 4(1/3) = 4/3$$ ✅ **Resultado para $a=1$:** $$\boxed{x = -\frac{1}{3}, \quad y = \frac{1}{3}, \quad z = \frac{4}{3}}$$

**c) (0.5 puntos) Resolver el sistema para $a = 2$.** Como vimos, para $a = 2$ el sistema es SCI. El sistema es: $$ \begin{cases} 2x + 2y + z = 2 \\ x - 4y + 3z = 1 \\ 4y - 2z = 0 \end{cases} $$ De la tercera ecuación obtenemos: $2z = 4y \implies z = 2y$. Utilizamos $y$ como parámetro: $y = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$. Entonces, $z = 2\lambda$. Sustituimos en la primera ecuación para hallar $x$: $$2x + 2\lambda + 2\lambda = 2 \implies 2x + 4\lambda = 2$$ $$2x = 2 - 4\lambda \implies x = 1 - 2\lambda$$ Comprobamos en la segunda ecuación: $$(1 - 2\lambda) - 4\lambda + 3(2\lambda) = 1 - 2\lambda - 4\lambda + 6\lambda = 1$$ Se cumple $1 = 1$, lo cual confirma que el sistema está bien resuelto en función del parámetro. ✅ **Resultado para $a=2$:** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$