Distancia de un punto a una recta e intersección con plano perpendicular

**a) (1 punto) Hallar la distancia del punto $Q(3, 5, -3)$ a la recta $r$.** Primero, obtenemos un punto y un vector director de la recta $r$. Sabemos que pasa por $P_1(3, 2, 0)$ y $P_2(7, 0, 2)$, por lo que su vector director $\vec{v_r}$ será la diferencia entre ambos puntos: $$\vec{v_r} = \vec{P_1P_2} = (7-3, 0-2, 2-0) = (4, -2, 2)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo dividiendo por 2: $$\vec{u_r} = (2, -1, 1)$$ Así, la recta $r$ queda definida por el punto $P_1(3, 2, 0)$ y el vector $\vec{u_r}(2, -1, 1)$. 💡 **Tip:** El uso de un vector director simplificado no cambia la dirección de la recta y hace que las operaciones con productos escalares o vectoriales sean más cómodas.

Para hallar la distancia de un punto $Q$ a una recta $r$, utilizamos la fórmula: $$d(Q, r) = \frac{|\vec{P_1Q} \times \vec{u_r}|}{|\vec{u_r}|}$$ Calculamos primero el vector $\vec{P_1Q}$: $$\vec{P_1Q} = Q - P_1 = (3-3, 5-2, -3-0) = (0, 3, -3)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{P_1Q} \times \vec{u_r}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \vec{P_1Q} \times \vec{u_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & -3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{w} = \mathbf{i}(3 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - (-3) \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot (-1) - 3 \cdot 2)$$ $$\vec{w} = \mathbf{i}(3 - 3) - \mathbf{j}(0 + 6) + \mathbf{k}(0 - 6) = (0, -6, -6)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial genera un vector perpendicular a los dos vectores originales.

Calculamos los módulos necesarios para aplicar la fórmula: 1. Módulo del producto vectorial: $$|\vec{P_1Q} \times \vec{u_r}| = \sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ 2. Módulo del vector director de la recta: $$|\vec{u_r}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(Q, r) = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{3}$ en el numerador y denominador: $$d(Q, r) = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(Q, r) = 2\sqrt{3}}$$

**b) (1 punto) Hallar el punto de corte de la recta r con el plano perpendicular a r que pasa por el punto Q.** Si un plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{u_r} = (2, -1, 1)$ será el vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (2, -1, 1)$. La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$\pi: 2x - y + z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por $Q(3, 5, -3)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$2(3) - (5) + (-3) + D = 0 \implies 6 - 5 - 3 + D = 0 \implies -2 + D = 0 \implies D = 2$$ La ecuación del plano es: $$\pi: 2x - y + z + 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a una recta tiene como vector normal el propio vector director de dicha recta.

Para hallar el punto de corte $M$, expresamos la recta $r$ en sus ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 3 + 2\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$2(3 + 2\lambda) - (2 - \lambda) + (\lambda) + 2 = 0$$ Operamos para despejar $\lambda$: $$6 + 4\lambda - 2 + \lambda + \lambda + 2 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies 6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos el valor de $\lambda = -1$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener el punto $M$: $$x = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1$$ $$y = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$$ $$z = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{M(1, 3, -1)}$$