Operaciones matriciales, rango e inversa

**a) (0.5 puntos) Calcular la matriz $B = (A - I)(2I + 2A)$.** Primero, calculamos las matrices intermedias $(A-I)$ y $(2I+2A)$: $$A - I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$2I + 2A = 2(I + A) = 2 \left[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \right] = 2 \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos ambas matrices para obtener $B$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 6 & 0 & 0 \\ 0 & -1\cdot 2 + 1\cdot 2 & -1\cdot 2 + 1\cdot 2 \\ 0 & 1\cdot 2 - 1\cdot 2 & 1\cdot 2 - 1\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(A-I)(2I+2A) = 2(A-I)(A+I)$. Como el producto de matrices cumple la propiedad distributiva y $A$ conmuta con $I$, esto es equivalente a $2(A^2 - I^2)$, lo que simplifica los cálculos si ya conoces $A^2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Determinar el rango de las matrices $A - I, A^2 - I$ y $A^3 - I$.** Para **$A - I$**: Ya hemos calculado que $A - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Calculamos su determinante: $$|A - I| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-1)(-1) - 1 \cdot 1) = 1(1 - 1) = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango no es $3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$$ Por tanto, el **rango de $A - I$ es 2**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si el determinante es cero, las filas son dependientes. Aquí se ve claramente que la tercera fila es la segunda multiplicada por $-1$.

Para **$A^2 - I$**, primero calculamos $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^2 - I$: $$A^2 - I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ En esta matriz, solo hay una fila no nula (la primera), y las demás son nulas. Por lo tanto, el **rango de $A^2 - I$ es 1**.

Para **$A^3 - I$**, calculamos primero $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^3 - I$: $$A^3 - I = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Observamos que esta matriz tiene la misma estructura que $A - I$. Calculamos su determinante: $$|A^3 - I| = 7 \cdot ((-1)(-1) - 1 \cdot 1) = 7(1 - 1) = 0$$ Buscamos un menor de orden $2$: $$\begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -7 \neq 0$$ Por tanto, el **rango de $A^3 - I$ es 2**. ✅ **Resultados del apartado b:** $$\boxed{\text{rg}(A-I)=2, \quad \text{rg}(A^2-I)=1, \quad \text{rg}(A^3-I)=2}$$

**c) (1 punto) Calcular la matriz inversa de $A^6$, en caso de que exista.** Sabemos que $A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Como es una matriz diagonal, sus potencias se calculan elevando los elementos de la diagonal principal: $$A^6 = (A^2)^3 = \begin{pmatrix} 4^3 & 0 & 0 \\ 0 & 1^3 & 0 \\ 0 & 0 & 1^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante es distinto de cero. En una matriz diagonal, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal: $$|A^6| = 64 \cdot 1 \cdot 1 = 64 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, **existe la inversa**. La inversa de una matriz diagonal se obtiene invirtiendo cada elemento de la diagonal principal: $$(A^6)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1/1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para cualquier matriz diagonal $D = \text{diag}(d_1, d_2, ..., d_n)$, su inversa es $D^{-1} = \text{diag}(1/d_1, 1/d_2, ..., 1/d_n)$, siempre que ningún $d_i$ sea cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A^6)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$