Independencia de sucesos y probabilidad condicionada

**a) (1 punto) Comprobar si los sucesos $A$ y $B$ son independientes o no.** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B)$$ En primer lugar, necesitamos calcular la probabilidad de la intersección $p(A \cap B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$\frac{2}{3} = \frac{4}{9} + \frac{1}{2} - p(A \cap B)$$ Para operar, buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores $(3, 9, 2)$, que es $18$: $$\frac{12}{18} = \frac{8}{18} + \frac{9}{18} - p(A \cap B)$$ $$\frac{12}{18} = \frac{17}{18} - p(A \cap B)$$ $$p(A \cap B) = \frac{17}{18} - \frac{12}{18} = \frac{5}{18}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la unión siempre relaciona la suma de las probabilidades individuales con su intersección.

Ahora calculamos el producto de las probabilidades individuales $p(A) \cdot p(B)$: $$p(A) \cdot p(B) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$$ Comparamos los resultados obtenidos: - $p(A \cap B) = \frac{5}{18}$ - $p(A) \cdot p(B) = \frac{4}{18}$ Como $p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)$, los sucesos **no son independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ son dependientes (no independientes)}}$$

**b) (1 punto) Calcular $p(\bar{A}|B)$, donde $\bar{A}$ denota el suceso complementario de $A$.** Para facilitar el cálculo de probabilidades con complementarios, podemos organizar la información en una tabla de contingencia (usando denominador común $18$): $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 5/18 & 3/18 & 8/18 \\ \bar{A} & 4/18 & 6/18 & 10/18 \\ \hline \text{Total} & 9/18 & 9/18 & 1 \end{array}$$ Donde hemos obtenido: - $p(\bar{A} \cap B) = p(B) - p(A \cap B) = \frac{9}{18} - \frac{5}{18} = \frac{4}{18}.$ - $p(\bar{A}) = 1 - p(A) = 1 - \frac{8}{18} = \frac{10}{18}.$ 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son muy útiles para visualizar la probabilidad de la intersección de un suceso con el complementario del otro.

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$p(\bar{A}|B) = \frac{p(\bar{A} \cap B)}{p(B)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$p(\bar{A}|B) = \frac{4/18}{9/18} = \frac{4}{9}$$ Alternativamente, podríamos haber usado la propiedad del complementario en la probabilidad condicionada: $$p(\bar{A}|B) = 1 - p(A|B) = 1 - \frac{p(A \cap B)}{p(B)} = 1 - \frac{5/18}{9/18} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$$ Ambos métodos confirman el mismo resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(\bar{A}|B) = \frac{4}{9}}$$