Álgebra 2017 Madrid
Sistema de ecuaciones lineales: Mezcla de aleaciones
Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.
Se dispone de tres aleaciones A, B y C que contienen, entre otros metales, oro y plata en las proporciones indicadas en la tabla adjunta.
| | Oro (%) | Plata (%) |
|---|---|---|
| A | 100 | 0 |
| B | 75 | 15 |
| C | 60 | 22 |
Se quiere obtener un lingote de 25 gramos, con una proporción del 72% de oro y una proporción del 16% de plata, tomando $x$ gramos de A, $y$ gramos de B y $z$ gramos de C. Determínense las cantidades $x, y, z$.
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**Determínense las cantidades $x, y, z$.**
Primero, definimos las variables según el enunciado:
- $x$: gramos de la aleación A.
- $y$: gramos de la aleación B.
- $z$: gramos de la aleación C.
Planteamos las ecuaciones basadas en las condiciones del lingote final:
1. **Masa total:** El lingote debe pesar 25 gramos:
$$x + y + z = 25$$
2. **Cantidad de oro:** El lingote final tiene un 72% de oro sobre 25 g, es decir, $0,72 \cdot 25 = 18$ gramos. Según las proporciones de cada aleación:
$$1,00x + 0,75y + 0,60z = 18$$
3. **Cantidad de plata:** El lingote final tiene un 16% de plata sobre 25 g, es decir, $0,16 \cdot 25 = 4$ gramos. Según las proporciones de cada aleación:
$$0x + 0,15y + 0,22z = 4$$
💡 **Tip:** Es fundamental calcular primero la cantidad absoluta en gramos de cada metal ($25 \cdot \text{porcentaje}$) para establecer las igualdades correctamente.
Paso 2
Simplificación del sistema de ecuaciones
Para facilitar los cálculos, multiplicamos las ecuaciones con decimales por 100 para trabajar con números enteros:
El sistema queda:
$$\begin{cases} x + y + z = 25 \\ 100x + 75y + 60z = 1800 \\ 15y + 22z = 400 \end{cases}$$
Podemos simplificar la segunda ecuación dividiéndola por 5:
$$20x + 15y + 12z = 360$$
El sistema simplificado es:
$$\begin{cases} x + y + z = 25 \\ 20x + 15y + 12z = 360 \\ 15y + 22z = 400 \end{cases}$$
Paso 3
Resolución del sistema mediante el método de Gauss
Escribimos la matriz ampliada asociada al sistema y aplicamos el método de Gauss:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 25 \\ 20 & 15 & 12 & 360 \\ 0 & 15 & 22 & 400 \end{array}\right)$$
Realizamos la operación $F_2 \to F_2 - 20F_1$:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 25 \\ 0 & -5 & -8 & -140 \\ 0 & 15 & 22 & 400 \end{array}\right)$$
Ahora, realizamos la operación $F_3 \to F_3 + 3F_2$:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 25 \\ 0 & -5 & -8 & -140 \\ 0 & 0 & -2 & -20 \end{array}\right)$$
💡 **Tip:** El método de Gauss consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal principal para obtener un sistema escalonado más fácil de resolver.
Paso 4
Cálculo de las incógnitas
A partir de la última matriz escalonada, resolvemos de abajo hacia arriba:
1. De la tercera fila:
$$-2z = -20 \implies z = \frac{-20}{-2} \implies \mathbf{z = 10}$$
2. Sustituimos $z$ en la segunda fila:
$$-5y - 8(10) = -140$$
$$-5y - 80 = -140$$
$$-5y = -60 \implies y = \frac{-60}{-5} \implies \mathbf{y = 12}$$
3. Sustituimos $y$ y $z$ en la primera fila:
$$x + 12 + 10 = 25$$
$$x + 22 = 25 \implies \mathbf{x = 3}$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{x = 3, \, y = 12, \, z = 10}$$