Geometría en el espacio: Posición relativa, distancias y planos

**a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de $r_1$ y $r_2$.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto $A_1$ y un vector director $\vec{v_1}$ de la recta $r_1$. La recta viene dada por la intersección de dos planos, por lo que su vector director es el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{v_{r1}} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v_{r1}} = [(-1)(1)]\mathbf{i} + [(-1)(2)]\mathbf{j} + [(6)(-1)]\mathbf{k} - [(-1)(2)]\mathbf{i} - [(-1)(6)]\mathbf{j} - [(1)(-1)]\mathbf{k}$$ $$\vec{v_{r1}} = -1\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 6\mathbf{k} + 2\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (1, 4, 2)$$ Para el punto $A_1$, asignamos $z = 0$ en las ecuaciones de $r_1$: $$\begin{cases} 6x - y = 1 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $4x = 0 \implies x = 0$. Sustituyendo $x$: $-y = 1 \implies y = -1$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas es el producto vectorial de los coeficientes de los planos. Si el vector resultante es divisible por un número, puedes simplificarlo. $$\boxed{A_1(0, -1, 0), \quad \vec{v_1}(1, 4, 2)}$$

Procedemos de igual forma para $r_2$: $$\vec{v_{r2}} = \vec{n_3} \times \vec{n_4} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -5 & -2 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v_{r2}} = [(-5)(4)]\mathbf{i} + [(-2)(3)]\mathbf{j} + [(3)(1)]\mathbf{k} - [(-2)(3)]\mathbf{i} - [(1)(3)]\mathbf{j} - [(4)(-5)]\mathbf{k}$$ $$\vec{v_{r2}} = -20\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k} + 6\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 20\mathbf{k} = (-14, -9, 23)$$ *Nota: Recalculando con cuidado el producto vectorial de $r_2$:* $$\vec{v_{r2}} = (-20 - (-2))\mathbf{i} - (12 - (-6))\mathbf{j} + (3 - (-15))\mathbf{k} = (-18, -18, 18)$$ Podemos simplificar dividiendo entre $-18$: $\vec{v_2} = (1, 1, -1)$. Para el punto $A_2$, asignamos $y = 0$: $$\begin{cases} 3x - 2z = 3 \\ 3x + 4z = 3 \end{cases} \implies 6z = 0 \implies z = 0, x = 1.$$ $$\boxed{A_2(1, 0, 0), \quad \vec{v_2}(1, 1, -1)}$$

Comparamos los vectores directores $\vec{v_1}(1, 4, 2)$ y $\vec{v_2}(1, 1, -1)$. No son proporcionales, por lo que las rectas **se cortan o se cruzan**. Formamos el vector $\vec{A_1A_2} = (1 - 0, 0 - (-1), 0 - 0) = (1, 1, 0)$ y calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores: $$\det(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{A_1A_2}) = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera fila: $$\det = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 0 = 1(-4-2) - 1(-1-2) = -6 + 3 = -3$$ Como el determinante es distinto de cero ($ \det \neq 0$), los vectores son linealmente independientes y las rectas **se cruzan en el espacio**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r_1 \text{ y } r_2 \text{ se cruzan.}}$$

**b) (1 punto) Calcular la distancia entre las dos rectas.** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula con la fórmula basada en el volumen del paralelepípedo: $$d(r_1, r_2) = \frac{|[\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{A_1A_2}]|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$$ Ya sabemos que el numerador (valor absoluto del producto mixto) es $|-3| = 3$. Calculamos el denominador $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|$: $$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-4-2)\mathbf{i} - (-1-2)\mathbf{j} + (1-4)\mathbf{k} = (-6, 3, -3)$$ $$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$$ Sustituyendo en la fórmula: $$d(r_1, r_2) = \frac{3}{3\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \text{ unidades.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r_1, r_2) = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx 0.408 \text{ u}}$$

**c) (1 punto) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r_1$ y al punto $P(1, 2, 3)$.** El plano $\pi$ estará determinado por el punto $P(1, 2, 3)$, el vector director de la recta $\vec{v_1}(1, 4, 2)$ y un segundo vector que una el punto $P$ con un punto de la recta, por ejemplo $A_1(0, -1, 0)$: $$\vec{w} = \vec{A_1P} = (1 - 0, 2 - (-1), 3 - 0) = (1, 3, 3)$$ La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos: $$(x - 1)(12 - 6) - (y - 2)(3 - 2) + (z - 3)(3 - 4) = 0$$ $$6(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 3) = 0$$ $$6x - 6 - y + 2 - z + 3 = 0 \implies 6x - y - z - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el punto $P$ perteneciera a la recta $r_1$, habría infinitos planos. Pero si comprobamos $P$ en las ecuaciones de $r_1$, vemos que solo cumple la primera ($6(1)-2-3=1$), lo que confirma que el plano buscado es precisamente uno de los planos que definen a $r_1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{6x - y - z - 1 = 0}$$