Continuidad, derivabilidad, límites e integración de una función a trozos

**a) (1 punto) Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x = 0$.** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, se debe cumplir que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. 1. **Valor de la función:** $f(0) = \frac{\ln(0 + 1)}{0 + 1} = \frac{\ln(1)}{1} = \frac{0}{1} = 0$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} xe^{2x} = 0 \cdot e^0 = 0$. 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} = \frac{\ln(1)}{1} = 0$. Como los límites laterales coinciden con el valor de la función: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$$ 💡 **Tip:** Antes de estudiar la derivabilidad, es obligatorio comprobar la continuidad. Si una función no es continua en un punto, automáticamente no es derivable en él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } x = 0}$$

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos si las derivadas laterales en $x = 0$ coinciden. Primero calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: - Para $x \lt 0$: $f'(x) = (x)' e^{2x} + x (e^{2x})' = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = (1 + 2x)e^{2x}$. - Para $x \gt 0$: Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $f'(x) = \frac{\frac{1}{x+1}(x+1) - \ln(x+1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1 - \ln(x+1)}{(x+1)^2}$. La función derivada es: $$f'(x) = \begin{cases} (1 + 2x)e^{2x} & \text{si } x \lt 0, \\ \frac{1 - \ln(x+1)}{(x+1)^2} & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = 0$: - $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (1 + 2x)e^{2x} = (1 + 0)e^0 = 1$. - $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \ln(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{1 - 0}{1^2} = 1$. Como $f'(0^-) = f'(0^+) = 1$, la función es derivable en $x = 0$ y $f'(0) = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } x = 0}$$

**b) (1 punto) Calcular $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** **Límite cuando $x \to -\infty$:** Usamos la primera rama $f(x) = xe^{2x}$. $$\lim_{x \to -\infty} xe^{2x} = (-\infty \cdot 0)$$ Reescribimos para aplicar la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-2x}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right] \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-2e^{-2x}} = \frac{1}{-\infty} = 0.$$ **Límite cuando $x \to +\infty$:** Usamos la segunda rama $f(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x + 1}$. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x+1} = 0.$$ 💡 **Tip:** Al aplicar L'Hôpital, derivamos numerador y denominador de forma independiente. Recuerda que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ por jerarquía de infinitos. ✅ **Resultados:** $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0} \quad \text{y} \quad \boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_{-1}^0 f(x) dx$.** En el intervalo $[-1, 0]$, la función está definida por la primera rama: $f(x) = xe^{2x}$. Debemos calcular $\int_{-1}^0 xe^{2x} dx$ mediante el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es ALPES (donde P es Polinomios y E Exponenciales). Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{2x} dx \implies v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$ Calculamos la integral indefinida: $$\int xe^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$ Simplificando: $$F(x) = \left( \frac{2x - 1}{4} \right)e^{2x}$$

Aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral definida entre $-1$ y $0$: $$\int_{-1}^0 xe^{2x} dx = \left[ \frac{2x - 1}{4} e^{2x} \right]_{-1}^0$$ Calculamos el valor en los extremos: - Para $x = 0$: $F(0) = \frac{2(0) - 1}{4} e^{0} = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$. - Para $x = -1$: $F(-1) = \frac{2(-1) - 1}{4} e^{-2} = -\frac{3}{4} e^{-2} = -\frac{3}{4e^2}$. Restamos los valores: $$I = F(0) - F(-1) = -\frac{1}{4} - \left( -\frac{3}{4e^2} \right) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4e^2} = \frac{3 - e^2}{4e^2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{-1}^0 f(x) dx = \frac{3}{4e^2} - \frac{1}{4} \approx -0.1484}$$