Cálculo de probabilidades y leyes de De Morgan

**Calcule: $P(A \cup B)$, $P(A \cap B)$, $P(B/A)$.** En primer lugar, identificamos los datos proporcionados en el enunciado en formato decimal para facilitar los cálculos: - $P(A) = \frac{3}{5} = 0,6$ - $P(B) = \frac{7}{10} = 0,7$ - $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{10} = 0,1$ Para hallar $P(A \cup B)$, utilizamos una de las **Leyes de De Morgan**, que establece que la intersección de los complementarios es el complementario de la unión: $$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$$ Por tanto: $$P(\overline{A \cup B}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,1$$ Sabiendo que $P(E) = 1 - P(\bar{E})$: $$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0,1 = 0,9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las Leyes de De Morgan son fundamentales: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ y $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = \dfrac{9}{10} = 0,9}$$

Para calcular la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$, aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(A \cap B)$ de la expresión anterior: $$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap B) = 0,6 + 0,7 - 0,9$$ $$P(A \cap B) = 1,3 - 0,9 = 0,4$$ En forma de fracción: $$P(A \cap B) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = \dfrac{2}{5} = 0,4}$$

Finalmente, para calcular $P(B/A)$, utilizamos la definición de **probabilidad condicionada**: $$P(B/A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$$ Como ya hemos calculado $P(A \cap B) = 0,4$ y sabemos que $P(A) = 0,6$: $$P(B/A) = \frac{0,4}{0,6}$$ Simplificamos la fracción resultante: $$P(B/A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(B/A)$ representa la probabilidad de que ocurra $B$ sabiendo que ya ha ocurrido $A$. No la confundas con $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B/A) = \dfrac{2}{3} \approx 0,6667}$$

Podemos verificar los resultados mediante una tabla de contingencia de probabilidades: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & \mathbf{0,4} & 0,2 & 0,6 \\ \bar{A} & 0,3 & \mathbf{0,1} & 0,4 \\ \hline \text{Total} & 0,7 & 0,3 & 1,0 \end{array}$$ En la tabla se observa que todos los datos son coherentes con los cálculos realizados.