Integral indefinida por partes

Para resolver la integral $\int \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} dx$, observamos que tenemos el producto de una función logarítmica por una función potencia ($x^{-2}$). Este escenario es ideal para aplicar el método de **integración por partes**. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos/Cosenos). Siguiendo este orden, elegimos el logaritmo como $u$.

Asignamos los términos de la siguiente manera: - Elegimos $u = \ln(1+x^2)$. Para hallar $du$, derivamos usando la regla de la cadena: $$du = \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x \, dx = \frac{2x}{1+x^2} \, dx$$ - Elegimos $dv = \frac{1}{x^2} \, dx = x^{-2} \, dx$. Para hallar $v$, integramos: $$v = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{f(x)}$.

Sustituimos $u, v, du$ y $dv$ en la fórmula: $$\int \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} dx = \underbrace{\ln(1+x^2)}_{u} \cdot \underbrace{\left(-\frac{1}{x}\right)}_{v} - \int \underbrace{\left(-\frac{1}{x}\right)}_{v} \cdot \underbrace{\frac{2x}{1+x^2} \, dx}_{du}$$ Simplificamos la expresión: $$I = -\frac{\ln(1+x^2)}{x} + \int \frac{2x}{x(1+x^2)} \, dx$$ Observamos que las $x$ en el numerador y denominador de la integral se cancelan: $$I = -\frac{\ln(1+x^2)}{x} + \int \frac{2}{1+x^2} \, dx$$

La integral resultante es inmediata, ya que corresponde a la derivada del arcotangente: $$\int \frac{2}{1+x^2} \, dx = 2 \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = 2 \arctan(x)$$ Combinamos todos los términos y añadimos la constante de integración $C$: $$I = -\frac{\ln(1+x^2)}{x} + 2 \arctan(x) + C$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca añadir la constante $C$ en las integrales indefinidas, ya que representan una familia de funciones. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} dx = 2 \arctan(x) - \frac{\ln(1+x^2)}{x} + C}$$