Estudio de una función exponencial: límites, monotonía y extremos

**a) [0,5 puntos] Calcular $\lim_{x o +\infty} f(x)$.** Para calcular el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$, observamos que la expresión presenta una indeterminación del tipo $\infty \cdot 0$: $$\lim_{x o +\infty} xe^{-x^2} = \lim_{x o +\infty} \frac{x}{e^{x^2}}$$ Al sustituir, obtenemos la forma $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x o +\infty} \frac{x}{e^{x^2}} = \lim_{x o +\infty} \frac{(x)'}{(e^{x^2})'} = \lim_{x o +\infty} \frac{1}{2xe^{x^2}}$$ Como el denominador tiende a $+\infty$ y el numerador es una constante: $$\lim_{x o +\infty} \frac{1}{2xe^{x^2}} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x o +\infty} f(x) = 0}$$ Esto indica que el eje $X$ ($y=0$) es una asíntota horizontal de la función por la derecha.

**b) [1,5 puntos] Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de la función.** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de $f(x) = xe^{-x^2}$ utilizando la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = (x)' \cdot e^{-x^2} + x \cdot (e^{-x^2})'$$ $$f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2x e^{-x^2})$$ $$f'(x) = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2}$$ Factorizamos el término común $e^{-x^2}$: $$f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$$ 💡 **Tip:** En derivadas con exponenciales del tipo $e^{g(x)}$, casi siempre es útil factorizar $e^{g(x)}$ al final para facilitar el estudio del signo.

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies e^{-x^2}(1 - 2x^2) = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x^2}$ siempre es positiva ($e^{-x^2} \gt 0$) para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la ecuación se reduce a: $$1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Los valores críticos son $x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (aproximadamente $\pm 0.707$). Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \\ \hline 1-2x^2 & - & 0 & + & 0 & - \\ e^{-x^2} & + & + & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para saber el signo en un intervalo, elige un valor de prueba. Por ejemplo, en $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, evaluamos en $x=0$: $f'(0) = e^0(1-0) = 1 \gt 0$.

A partir de la tabla anterior, concluimos: - La función es **creciente** en el intervalo: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. - La función es **decreciente** en los intervalos: $\left(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)$. Calculamos las ordenadas de los extremos relativos: Para $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-1/2} = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}$$ Para $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &\text{Decrecimiento: } \left(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right) \\ &\text{Mínimo relativo: } \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}\right) \\ &\text{Máximo relativo: } \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}\right) \end{aligned}}$$