Área de un triángulo y perpendicularidad en el espacio

**a) [1,25 puntos] Calcule el área del triángulo $ABC$.** Para calcular el área de un triángulo en el espacio, primero determinamos dos vectores que compartan un vértice común a partir de los puntos dados: $A = (1, 1, 1)$, $B = (1, -1, 0)$ y $C = (0, -2, 1)$. Calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1-1, -1-1, 0-1) = (0, -2, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-1, -2-1, 1-1) = (-1, -3, 0)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo definido por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es la mitad del módulo de su producto vectorial: $Area = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el desarrollo del determinante por la primera fila (regla de Sarrus): $$\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -2 & -1 \\ -1 & -3 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i}((-2)(0) - (-1)(-3)) - \vec{j}((0)(0) - (-1)(-1)) + \vec{k}((0)(-3) - (-2)(-1))$$ $$\vec{w} = \vec{i}(0 - 3) - \vec{j}(0 - 1) + \vec{k}(0 - 2) = (-3, 1, -2)$$ Este vector $(-3, 1, -2)$ es, además, el vector normal al plano que contiene al triángulo.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$$ Aplicamos la fórmula del área: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,87 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = \frac{\sqrt{14}}{2} \text{ unidades cuadradas}}$$

**b) [1,25 punto] Calcule la ecuación de la recta (en cualquiera de sus formas) contenida en el plano que forman $A$, $B$ y $C$ que, pasando por $A$, es perpendicular al lado $BC$.** Sea $r$ la recta buscada. Debe cumplir tres condiciones: 1. Pasa por el punto **$A(1, 1, 1)$**. 2. Está contenida en el plano $\pi$ que forman $A, B$ y $C$. Esto significa que su vector director $\vec{v_r}$ es perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (-3, 1, -2)$. 3. Es perpendicular al lado $BC$. Esto significa que $\vec{v_r}$ es perpendicular al vector $\vec{BC}$. Calculamos el vector $\vec{BC}$: $$\vec{BC} = C - B = (0-1, -2-(-1), 1-0) = (-1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Si un vector debe ser perpendicular a otros dos vectores conocidos, su dirección se obtiene mediante el producto vectorial de ambos.

Obtenemos el vector director de la recta $\vec{v_r}$ cruzando el normal del plano y el vector del lado $BC$: $$\vec{v_r} = \vec{n_\pi} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \vec{i}(1 - 2) - \vec{j}(-3 - 2) + \vec{k}(3 - (-1))$$ $$\vec{v_r} = -1\vec{i} + 5\vec{j} + 4\vec{k} = (-1, 5, 4)$$ 💡 **Tip:** El vector normal al plano es el que calculamos en el apartado anterior como el producto vectorial de los vectores del triángulo.

Con el punto $A(1, 1, 1)$ y el vector director $\vec{v_r} = (-1, 5, 4)$, escribimos la ecuación de la recta. Podemos usar la forma continua: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo: $$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 1}{4}$$ O en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 5t \\ z = 1 + 4t \end{cases} \quad \text{con } t \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 1}{4}}$$