Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) [0,75 puntos] Determine para qué valores del parámetro $a$ el sistema tiene solución única. No hay que resolverlo.** Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & 2a & 1 \\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2a & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a & -3 \end{array}\right)$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema tiene solución única (es un Sistema Compatible Determinado) si y solo si el rango de la matriz $A$ es igual al rango de la matriz ampliada $A^*$ e igual al número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre cuando el determinante de $A$ es distinto de cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & 2a & 1 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix} = (a \cdot 2a \cdot a) + (2 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 2) - [ (1 \cdot 2a \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot 1 \cdot 2) ]$$ $$|A| = 2a^3 + 2 + 2 - (2a + 2a + 2a) = 2a^3 - 6a + 4$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ es cero si sus filas son linealmente dependientes. Resolver $|A|=0$ nos da los puntos críticos para la discusión.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$2a^3 - 6a + 4 = 0 \implies a^3 - 3a + 2 = 0$$ Probamos raíces enteras por la regla de Ruffini. Para $a=1$: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$ La ecuación queda $(a-1)(a^2 + a - 2) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a_1 = 1, a_2 = -2$$ Las raíces son $a=1$ (doble) y $a=-2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución única si } a \neq 1 \text{ y } a \neq -2}$$

**b) [1,25 puntos] Determine para qué valor del parámetro $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Un sistema tiene infinitas soluciones si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < 3$. Analizamos los valores críticos: **Caso $a = -2$:** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -2 & -3 \end{pmatrix}$$ Como $|A|=0$, el $\text{rg}(A) < 3$. Vemos que el menor $\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 8 - 2 = 6 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ calculando un determinante $3 \times 3$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (-24 + 4 + 2) - (-4 - 8 - 6) = -18 - (-18) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado** para $a = -2$.

Para resolverlo cuando $a = -2$, prescindimos de una ecuación (la primera, ya que las otras dos son linealmente independientes según el menor utilizado) y tomamos $z = \lambda$ como parámetro: $$\begin{cases} x - 4y + z = 2 \\ x + 2y - 2z = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x - 4y = 2 - \lambda \\ x + 2y = -3 + 2\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(x + 2y) - (x - 4y) = (-3 + 2\lambda) - (2 - \lambda) \implies 6y = -5 + 3\lambda \implies y = -\frac{5}{6} + \frac{1}{2}\lambda$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$x = -3 + 2\lambda - 2y = -3 + 2\lambda - 2\left(-\frac{5}{6} + \frac{1}{2}\lambda\right) = -3 + 2\lambda + \frac{5}{3} - \lambda = \lambda - \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas con infinitas soluciones, siempre expresa las variables en función de un parámetro (normalmente $\lambda, \mu, \dots$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2; \quad \text{Soluciones: } \begin{cases} x = -4/3 + \lambda \\ y = -5/6 + \lambda/2 \\ z = \lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) [0,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro $a$ el sistema no tiene solución.** El sistema no tiene solución si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$. Analizamos el valor restante $a = 1$: **Caso $a = 1$:** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Observamos las filas de la matriz $A$: las tres filas son iguales $(1, 2, 1)$, por lo que $\text{rg}(A) = 1$. Sin embargo, si miramos las columnas de $A$ y la columna de términos independientes, podemos encontrar un menor de orden 2 no nulo en $A^*$, por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = 1$ y $\text{rg}(A^*) = 2$, los rangos son distintos. Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema no tiene solución para } a = 1}$$