Probabilidad y Estadística 2017 Murcia
Probabilidad Total: Elección de Robótica
CUESTIÓN A.5: [1 punto]
En un colegio se imparten, como primer idioma, inglés, alemán y francés. El 65% de los alumnos estudian inglés, el 20% alemán y el resto francés. La asignatura de robótica es optativa y la elige el 30% de los alumnos de inglés, el 50% de los que estudian alemán y el 70% de los que cursan francés. Se elige un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie robótica?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**¿Cuál es la probabilidad de que estudie robótica?**
Primero, definimos los sucesos según el enunciado:
- $I$: El alumno estudia inglés.
- $A$: El alumno estudia alemán.
- $F$: El alumno estudia francés.
- $R$: El alumno elige robótica.
Extraemos los datos de probabilidad:
- $P(I) = 0.65$
- $P(A) = 0.20$
- Como el resto estudia francés: $P(F) = 1 - (0.65 + 0.20) = 0.15$
Las probabilidades condicionadas para la asignatura de robótica son:
- $P(R|I) = 0.30$
- $P(R|A) = 0.50$
- $P(R|F) = 0.70$
A continuación, representamos la situación mediante un árbol de probabilidades:
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.
Paso 2
Aplicación del Teorema de la Probabilidad Total
Para hallar la probabilidad total de que un alumno estudie robótica, $P(R)$, sumamos las probabilidades de todos los caminos que terminan en el suceso $R$.
Según el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(R) = P(I) \cdot P(R|I) + P(A) \cdot P(R|A) + P(F) \cdot P(R|F)$$
Sustituimos los valores numéricos obtenidos anteriormente:
$$P(R) = 0.65 \cdot 0.30 + 0.20 \cdot 0.50 + 0.15 \cdot 0.70$$
Realizamos las operaciones paso a paso:
- $0.65 \cdot 0.30 = 0.195$
- $0.20 \cdot 0.50 = 0.100$
- $0.15 \cdot 0.70 = 0.105$
Sumamos los resultados:
$$P(R) = 0.195 + 0.100 + 0.105 = 0.40$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (estudiar robótica) depende de otros sucesos incompatibles que forman una partición del espacio muestral (estudiar inglés, alemán o francés).
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{P(R) = 0.40}$$