Integral indefinida y cálculo de una primitiva

**a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida $\int \frac{\cos x \text{sen}^2 x}{1 + \text{sen}^2 x} dx$.** Observamos que en el numerador aparece la función $\cos x$, que es precisamente la derivada de la función $\text{sen } x$. Esto sugiere realizar un cambio de variable para simplificar la integral. Sea $t = \text{sen } x$. Diferenciamos en ambos lados: $$dt = \cos x \, dx$$ Sustituyendo estos valores en la integral original: $$I = \int \frac{\text{sen}^2 x}{1 + \text{sen}^2 x} (\cos x \, dx) = \int \frac{t^2}{1 + t^2} dt$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas una función trigonométrica acompañada de su derivada multiplicando al diferencial, el cambio de variable suele ser el camino más rápido.

La integral resultante es una función racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador. Para resolverla, realizamos la división o sumamos y restamos $1$ en el numerador: $$\frac{t^2}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2 - 1}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2}{1 + t^2} - \frac{1}{1 + t^2} = 1 - \frac{1}{1 + t^2}$$ Ahora integramos término a término: $$I = \int \left( 1 - \frac{1}{1 + t^2} \right) dt = \int 1 \, dt - \int \frac{1}{1 + t^2} dt$$ Las integrales son inmediatas: $$I = t - \arctan(t) + C$$ 💡 **Tip:** En integrales racionales donde los grados son iguales, el truco de "sumar y restar" lo que falte para que aparezca el denominador en el numerador ahorra tiempo frente a la división polinómica larga.

Para finalizar el apartado a), debemos volver a la variable original $x$ sustituyendo de nuevo $t$ por $\text{sen } x$: $$I = \text{sen } x - \arctan(\text{sen } x) + C$$ ✅ **Resultado (integral indefinida):** $$\boxed{\int \frac{\cos x \text{sen}^2 x}{1 + \text{sen}^2 x} dx = \text{sen } x - \arctan(\text{sen } x) + C}$$

**b) [0,5 puntos] Obtenga una primitiva $F(x)$ de la función $\frac{\cos x \text{sen}^2 x}{1 + \text{sen}^2 x}$ que cumpla la condición $F(\frac{\pi}{2}) = 1$.** Partimos de la familia de primitivas calculada en el apartado anterior: $$F(x) = \text{sen } x - \arctan(\text{sen } x) + C$$ Aplicamos la condición inicial $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ para hallar el valor de la constante $C$: $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \arctan\left(\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + C = 1$$ Sabiendo que $\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ y que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ (ya que $\tan(\pi/4) = 1$): $$1 - \arctan(1) + C = 1$$ $$1 - \frac{\pi}{4} + C = 1$$ $$C = \frac{\pi}{4}$$ Finalmente, escribimos la función $F(x)$ pedida: $$F(x) = \text{sen } x - \arctan(\text{sen } x) + \frac{\pi}{4}$$ ✅ **Resultado (primitiva):** $$\boxed{F(x) = \text{sen } x - \arctan(\text{sen } x) + \dfrac{\pi}{4}}$$