Cálculo de límites con indeterminaciones $1^\infty$ e $\infty - \infty$

**a) [1 punto] $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x-1}{x+3} \right)^x$.** Primero evaluamos el límite de la base y del exponente por separado cuando $x \to +\infty$: - Base: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{x+3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} = 1$. - Exponente: $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites del tipo $1^\infty$, aplicamos la propiedad: $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x)-1)]}$.

Aplicamos la fórmula mencionada anteriormente: $$L = e^{\lim_{x \to +\infty} x \left( \frac{x-1}{x+3} - 1 \right)}$$ Resolvemos la operación dentro del paréntesis buscando un denominador común: $$\frac{x-1}{x+3} - 1 = \frac{x-1 - (x+3)}{x+3} = \frac{x-1-x-3}{x+3} = \frac{-4}{x+3}$$ Sustituimos de nuevo en el límite del exponente: $$\lim_{x \to +\infty} x \left( \frac{-4}{x+3} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-4x}{x+3}$$ Como es un cociente de polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-4x}{x+3} = -4$$ Por tanto, el resultado final es: $$\boxed{e^{-4} = \frac{1}{e^4}}$$

**b) [1 punto] $\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1} \right)$.** Evaluamos el límite directamente: - $\frac{1}{\ln 1} = \frac{1}{0} \to \infty$ - $\frac{1}{1-1} = \frac{1}{0} \to \infty$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$\infty - \infty$**. 💡 **Tip:** Ante una resta de fracciones que genera $\infty - \infty$, el primer paso suele ser realizar la operación para obtener una única fracción y transformar la indeterminación en $0/0$ o $\infty/\infty$.

Operamos para obtener una sola fracción: $$\lim_{x \to 1} \left( \frac{(x-1) - \ln x}{(x-1) \ln x} \right)$$ Si evaluamos en $x=1$: $$\frac{(1-1) - \ln 1}{(1-1) \ln 1} = \frac{0 - 0}{0 \cdot 0} = \frac{0}{0}$$ Ahora aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: - Numerador: $(x-1-\ln x)' = 1 - 0 - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$ - Denominador (regla del producto): $((x-1) \ln x)' = 1 \cdot \ln x + (x-1) \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 - \frac{1}{x}$ El límite queda: $$\lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\ln x + 1 - \frac{1}{x}}$$

Para facilitar el cálculo, multiplicamos numerador y denominador por $x$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x \ln x + x - 1}$$ Volvemos a evaluar en $x=1$: $$\frac{1-1}{1 \cdot 0 + 1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** de nuevo: - Derivada del numerador: $(x-1)' = 1$ - Derivada del denominador: $(x \ln x + x - 1)' = (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) + 1 - 0 = \ln x + 1 + 1 = \ln x + 2$ Calculamos el límite final: $$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x + 2} = \frac{1}{\ln 1 + 2} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{1}{2}}$$