Ecuaciones de la recta y posición relativa

**a) [1 punto] Determine las ecuaciones continuas de $r$ y $s$.** Para obtener la ecuación de la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 1, 1)$ y $B(3, 3, 4)$, primero necesitamos un punto (usaremos $A$) y un vector director $\vec{u}_r$. Calculamos el vector director como el vector que une ambos puntos: $$\vec{u}_r = \vec{AB} = B - A = (3-1, 3-1, 4-1) = (2, 2, 3).$$ La ecuación continua de una recta que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con vector $(v_1, v_2, v_3)$ es: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituyendo el punto $A(1, 1, 1)$ y el vector $(2, 2, 3)$: $$\boxed{r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier punto de la recta y cualquier vector proporcional al obtenido darían una ecuación válida de la misma recta.

Para la recta $s$, el enunciado ya nos proporciona directamente el punto $C(4, 0, 3)$ y el vector director $\vec{v}_s = (-1, 3, 1)$. Aplicamos la fórmula de la ecuación continua: $$\frac{x - 4}{-1} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z - 3}{1}$$ Simplificando el término de la ordenada: $$\boxed{s: \frac{x-4}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z-3}{1}}$$ 💡 **Tip:** No olvides que en la ecuación continua, si una coordenada del punto es 0, simplemente se escribe la variable sola en el numerador.

**b) [1,5 puntos] Estudie la posición relativa de $r$ y $s$.** Para estudiar la posición relativa, primero analizamos si los vectores directores $\vec{u}_r = (2, 2, 3)$ y $\vec{v}_s = (-1, 3, 1)$ son paralelos. Comprobamos la proporcionalidad de sus componentes: $$\frac{2}{-1} \neq \frac{2}{3} \neq \frac{3}{1}$$ Como los componentes no son proporcionales, los vectores **no son paralelos**. Esto implica que las rectas o bien se cortan en un punto o bien se cruzan en el espacio. 💡 **Tip:** Si los vectores fueran proporcionales, las rectas serían paralelas o coincidentes.

Para decidir si las rectas se cortan o se cruzan, formamos un tercer vector $\vec{AC}$ que una un punto de cada recta: $A(1, 1, 1)$ de la recta $r$ y $C(4, 0, 3)$ de la recta $s$. $$\vec{AC} = C - A = (4-1, 0-1, 3-1) = (3, -1, 2).$$ Ahora calculamos el determinante formado por los tres vectores $\vec{u}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{AC}$ para ver si son coplanarios (rango 2) o no (rango 3): $$\text{det}(\vec{u}_r, \vec{v}_s, \vec{AC}) = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$= [2 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) \cdot (-1)] - [3 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$= [12 + 6 + 3] - [27 - 4 - 2]$$ $$= 21 - 21 = 0.$$ Al ser el determinante igual a **0**, los tres vectores son linealmente dependientes (coplanarios).

Dado que: 1. Los vectores directores $\vec{u}_r$ y $\vec{v}_s$ no son paralelos. 2. El producto mixto de $\vec{u}_r, \vec{v}_s$ y $\vec{AC}$ es cero (las rectas están en el mismo plano). Concluimos que las rectas **se cortan en un punto**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan}}$$