Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**a) [1,5 puntos] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.** Una matriz es regular o invertible si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3) - (4 \cdot 1) = 6 - 4 = 2.$$ Como $|A| = 2 \neq 0$, la matriz **$A$ es regular**. Calculamos la matriz inversa mediante la trasponida de la adjunta: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz adjunta trasponida $(\text{Adj}(A))^T$: $$(\text{Adj}(A))^T = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & -2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, su inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado (Inversa de A):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1,5 & -2 \\ -0,5 & 1 \end{pmatrix}}$$

Realizamos el mismo procedimiento para la matriz $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 0) - (1 \cdot -2) = 0 + 2 = 2.$$ Como $|B| = 2 \neq 0$, la matriz **$B$ es regular**. Calculamos su inversa $B^{-1}$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(B)$: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz adjunta trasponida $(\text{Adj}(B))^T$: $$(\text{Adj}(B))^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} (\text{Adj}(B))^T$: $$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Inversa de B):** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -0,5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 punto] Determine la matriz $X$ que cumple la ecuación $AXB = A + B$.** Para despejar $X$ en la ecuación $AXB = A + B$, debemos multiplicar por las matrices inversas en el orden correcto, ya que el producto de matrices no es conmutativo. 1. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$A^{-1}(AXB) = A^{-1}(A + B)$$ $$(A^{-1}A)XB = A^{-1}(A + B)$$ $$IXB = A^{-1}(A + B) \implies XB = A^{-1}(A + B)$$ 2. Multiplicamos por $B^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros: $$(XB)B^{-1} = A^{-1}(A + B)B^{-1}$$ $$X(BB^{-1}) = A^{-1}(A + B)B^{-1}$$ $$XI = A^{-1}(A + B)B^{-1} \implies X = A^{-1}(A + B)B^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A^{-1}A = I$ y $BB^{-1} = I$, donde $I$ es la matriz identidad. Al multiplicar por $I$, la matriz no varía ($XI = X$). $$\boxed{X = A^{-1}(A + B)B^{-1}}$$

Podemos simplificar la expresión de $X$ antes de operar o calcular paso a paso. Operamos paso a paso: 1. Calculamos la suma $M = A + B$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos el producto $Y = A^{-1} \cdot M$: $$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (3\cdot0)+(-4\cdot-1) & (3\cdot5)+(-4\cdot3) \\ (-1\cdot0)+(2\cdot-1) & (-1\cdot5)+(2\cdot3) \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Finalmente, calculamos $X = Y \cdot B^{-1}$: $$X = \left[ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \left[ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \right] = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} (4\cdot0)+(3\cdot2) & (4\cdot-1)+(3\cdot-2) \\ (-2\cdot0)+(1\cdot2) & (-2\cdot-1)+(1\cdot-2) \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6/4 & -10/4 \\ 2/4 & 0/4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Otra forma de resolverlo es notar que $A^{-1}(A+B)B^{-1} = (A^{-1}A + A^{-1}B)B^{-1} = (I + A^{-1}B)B^{-1} = B^{-1} + A^{-1}$, lo que simplifica mucho los cálculos. ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1,5 & -2,5 \\ 0,5 & 0 \end{pmatrix}}$$