Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el experimento aleatorio: - $G_1$: El alumno pertenece al primer grupo. - $G_2$: El alumno pertenece al segundo grupo. - $A$: El alumno aprueba el examen. - $\bar{A}$: El alumno suspende el examen. Calculamos las probabilidades a priori basándonos en el número total de alumnos ($25 + 30 = 55$): - $P(G_1) = \dfrac{25}{55} = \dfrac{5}{11}$ - $P(G_2) = \dfrac{30}{55} = \dfrac{6}{11}$ Las probabilidades condicionadas dadas por el enunciado son: - $P(A|G_1) = 0.64$ - $P(A|G_2) = 0.70$ 💡 **Tip:** Siempre es útil simplificar las fracciones si es posible, o trabajar con decimales si resultan exactos. En este caso, mantendremos fracciones para mayor precisión.

Para visualizar mejor la situación, representamos los datos en un árbol de probabilidad:

Sabemos que el examen elegido al azar está aprobado. Necesitamos calcular la probabilidad total de que un alumno apruebe, $P(A)$, usando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(A) = P(G_1) \cdot P(A|G_1) + P(G_2) \cdot P(A|G_2)$$ Sustituimos los valores: $$P(A) = \left( \frac{5}{11} \cdot 0.64 \right) + \left( \frac{6}{11} \cdot 0.70 \right)$$ $$P(A) = \frac{3.2}{11} + \frac{4.2}{11} = \frac{7.4}{11}$$ Para trabajar sin decimales dentro de la fracción, multiplicamos numerador y denominador por 10: $$P(A) = \frac{74}{110} = \frac{37}{55}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, aprobar).

Nos piden la probabilidad de que el alumno sea del primer grupo sabiendo que ha aprobado, es decir, la probabilidad condicionada $P(G_1|A)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(G_1|A) = \frac{P(G_1) \cdot P(A|G_1)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(G_1|A) = \frac{\dfrac{5}{11} \cdot 0.64}{\dfrac{37}{55}} = \frac{\dfrac{3.2}{11}}{\dfrac{37}{55}}$$ Operamos la división de fracciones: $$P(G_1|A) = \frac{3.2 \cdot 55}{11 \cdot 37} = \frac{3.2 \cdot 5}{37} = \frac{16}{37}$$ Calculamos el valor decimal aproximado: $$P(G_1|A) \approx 0.4324$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(G_1|A) = \frac{16}{37} \approx 0.4324}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicionalidad, calculando la probabilidad de una causa dado un efecto observado.