Integral racional por fracciones simples

Estamos ante una integral de una función racional donde el grado del numerador (1) es menor que el grado del denominador (2). Por tanto, no es necesario realizar la división de polinomios y procedemos directamente a la descomposición en fracciones simples. Primero, factorizamos el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 6 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ Así, el denominador factorizado es: $$\boxed{x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)}$$ 💡 **Tip:** Para descomponer una fracción racional, siempre debemos comprobar si el denominador tiene raíces reales. Si las tiene, podemos descomponer la fracción en suma de fracciones más sencillas.

Planteamos la descomposición de la fracción original en la suma de dos fracciones simples, ya que las raíces son reales y distintas: $$\frac{x}{x^2 + x - 6} = \frac{x}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 3}$$ Para hallar los valores de $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras realizar el común denominador: $$x = A(x + 3) + B(x - 2)$$ 💡 **Tip:** Al tener raíces reales simples, el método más rápido para hallar $A$ y $B$ es dar a $x$ los valores de dichas raíces.

Utilizamos los valores de las raíces para simplificar la ecuación: - Si **$x = 2$**: $$2 = A(2 + 3) + B(2 - 2) \implies 2 = 5A \implies A = \frac{2}{5}$$ - Si **$x = -3$**: $$-3 = A(-3 + 3) + B(-3 - 2) \implies -3 = -5B \implies B = \frac{3}{5}$$ Por lo tanto, la descomposición queda: $$\frac{x}{x^2 + x - 6} = \frac{2/5}{x - 2} + \frac{3/5}{x + 3}$$ $$\boxed{A = \frac{2}{5}, \quad B = \frac{3}{5}}$$

Sustituimos la fracción original por su descomposición en la integral y aplicamos la propiedad de linealidad: $$\int \frac{x}{x^2 + x - 6} dx = \int \left( \frac{2/5}{x - 2} + \frac{3/5}{x + 3} \right) dx$$ $$\int \frac{x}{x^2 + x - 6} dx = \frac{2}{5} \int \frac{1}{x - 2} dx + \frac{3}{5} \int \frac{1}{x + 3} dx$$ Ambas integrales son inmediatas de tipo logarítmico: $$\int \frac{1}{x + a} dx = \ln|x + a| + C$$ Finalmente, obtenemos: $$\frac{2}{5} \ln|x - 2| + \frac{3}{5} \ln|x + 3| + C$$ 💡 **Tip:** No olvides añadir siempre la constante de integración $C$ en las integrales indefinidas y usar el valor absoluto en el argumento del logaritmo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{x}{x^2 + x - 6} dx = \frac{2}{5} \ln|x - 2| + \frac{3}{5} \ln|x + 3| + C}$$