Optimización del coste de producción

En primer lugar, identificamos las variables del problema y la función que queremos optimizar (minimizar). Variables: - $L$: coste de la mano de obra (en millones de euros). - $K$: coste del equipamiento (en millones de euros). Función objetivo (Coste Total $C$): $$C(L, K) = L + K$$ La restricción es que la producción $P$ debe ser de 8 millones de unidades: $$P = 2LK^2 = 8$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre buscamos una función a minimizar o maximizar y una restricción que relacione las variables.

Para poder derivar, necesitamos expresar la función de coste $C$ en términos de una sola variable. Utilizamos la restricción de producción: $$2LK^2 = 8 \implies L = \frac{8}{2K^2} \implies L = \frac{4}{K^2}$$ Sustituimos esta expresión en la función de coste: $$C(K) = \frac{4}{K^2} + K$$ Debido a que $L$ y $K$ representan costes, deben ser valores positivos, por lo que el dominio de nuestra función es $K \in (0, +\infty)$. $$\boxed{C(K) = 4K^{-2} + K}$$

Para hallar el mínimo, calculamos la primera derivada de la función $C(K)$ e igualamos a cero: $$C'(K) = \frac{d}{dK}(4K^{-2} + K) = -8K^{-3} + 1 = 1 - \frac{8}{K^3}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$1 - \frac{8}{K^3} = 0 \implies 1 = \frac{8}{K^3} \implies K^3 = 8$$ $$K = \sqrt[3]{8} = 2$$ El valor crítico obtenido es **$K = 2$** millones de euros. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$. Aquí, la derivada de $4K^{-2}$ es $4 \cdot (-2)K^{-3} = -8K^{-3}$.

Debemos comprobar que en $K = 2$ existe un mínimo relativo. Analizamos el signo de la primera derivada $C'(K)$ a ambos lados del punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} K & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline C'(K) & - & 0 & +\\ C(K) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Justificación del signo: - Si $K=1$: $C'(1) = 1 - 8 = -7 \lt 0$ (la función decrece). - Si $K=3$: $C'(3) = 1 - \frac{8}{27} \gt 0$ (la función crece). Al pasar de decreciente a creciente en $K=2$, confirmamos que hay un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada: $C''(K) = 24K^{-4} = \frac{24}{K^4}$. Como $C''(2) = \frac{24}{16} \gt 0$, confirmamos que es un mínimo.

Una vez hallado el valor de $K$ que minimiza el coste, calculamos el valor correspondiente de $L$ usando la relación obtenida en el paso 2: $$L = \frac{4}{K^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$$ Por tanto, los valores que minimizan el coste total son $L = 1$ y $K = 2$ millones de euros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{L = 1, \quad K = 2}$$ (El coste total mínimo sería $C = 1 + 2 = 3$ millones de euros).