Triángulos en el espacio: perpendicularidad y área

**a) [1,5 puntos] ¿Cuánto ha de valer $a$ para que el triángulo sea rectángulo en $B$?** Para que el triángulo sea rectángulo en el vértice $B$, los vectores que parten de dicho vértice, $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$, deben ser perpendiculares. Esto implica que su producto escalar debe ser igual a cero: $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$$ Primero, calculamos las componentes de los vectores restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{BA} = A - B = (-a - 2, 1 - (-1), 1 - 2) = (-a - 2, 2, -1)$$ $$\vec{BC} = C - B = (1 - 2, -2a - (-1), 3 - 2) = (-1, -2a + 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que dos vectores sean perpendiculares (ortogonales), el ángulo entre ellos es de $90^\circ$ y $\cos(90^\circ)=0$, de ahí que el producto escalar sea nulo.

Aplicamos la definición analítica del producto escalar (suma de los productos de sus componentes): $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-a - 2)(-1) + (2)(-2a + 1) + (-1)(1) = 0$$ Desarrollamos los productos: $$(a + 2) + (-4a + 2) - 1 = 0$$ $$a + 2 - 4a + 2 - 1 = 0$$ Agrupamos términos semejantes: $$-3a + 3 = 0$$ $$-3a = -3 \implies a = \frac{-3}{-3} = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) [1 punto] Calcule el área del triángulo $ABC$ para el caso $a = -1$.** Sustituimos $a = -1$ en las coordenadas de los vértices: - $A = (-(-1), 1, 1) = (1, 1, 1)$ - $B = (2, -1, 2)$ - $C = (1, -2(-1), 3) = (1, 2, 3)$ Para calcular el área del triángulo, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial de dos vectores que compartan un origen, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (2-1, -1-1, 2-1) = (1, -2, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1-1, 2-1, 3-1) = (0, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo es la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores, que coincide con el módulo de su producto vectorial.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus o por menores (desarrollo por la primera fila): $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i}(-4 - 1) - \vec{j}(2 - 0) + \vec{k}(1 - 0)$$ $$\vec{w} = (-5, -2, 1)$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AC} = (-5, -2, 1)}$$

Calculamos el módulo del vector obtenido: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{25 + 4 + 1} = \sqrt{30}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{30}}{2} \approx 2.74 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{30}}{2} \text{ u}^2}$$