Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) [0,75 puntos] Determine para qué valores del parámetro $a$ el sistema tiene solución única. No hay que resolverlo.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & a^2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & a^2 & a-1 \end{array}\right)$$ Para que el sistema tenga solución única (Sistema Compatible Determinado), el determinante de la matriz $A$ debe ser distinto de cero, lo que implica que el rango de $A$ sea igual al número de incógnitas (3).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & a^2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3 \cdot a^2) + (1 \cdot 2 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot (-1)) - [ (2 \cdot 3 \cdot 1) + (2 \cdot (-1) \cdot 2) + (1 \cdot 2 \cdot a^2) ]$$ $$|A| = (6a^2 + 2 - 4) - (6 - 4 + 2a^2)$$ $$|A| = 6a^2 - 2 - 2 - 2a^2 = 4a^2 - 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$4a^2 - 4 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = 1, \quad a = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema cuadrado tiene solución única si y solo si el determinante de su matriz de coeficientes es distinto de cero.

Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema tendrá solución única cuando $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$. Esto ocurre cuando el determinante es distinto de cero. Por tanto, el sistema tiene solución única si: $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}}$$

**b) [1,25 puntos] Determine para qué valor del parámetro $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Analizamos el caso $a = 1$. La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Como es un sistema homogéneo (la última columna es de ceros ya que $a-1 = 1-1=0$), siempre es compatible. Sabemos que $|A| = 0$ para $a=1$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo nunca puede ser incompatible; siempre tiene al menos la solución trivial $(0,0,0)$.

Para resolverlo, utilizamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y pasamos $z$ al otro lado como parámetro $z = \lambda$: $$\begin{cases} 2x + y = -2\lambda \\ 2x + 3y = -2\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2x + 3y) - (2x + y) = -2\lambda - (-2\lambda) \implies 2y = 0 \implies y = 0$$ Sustituyendo $y = 0$ en la primera ecuación: $$2x + 0 = -2\lambda \implies x = -\lambda$$ La solución en función del parámetro $\lambda$ es: $$\boxed{\begin{cases} x = -\lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) [0,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro $a$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el caso $a = -1$. La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$ y que $\text{rango}(A) = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$ sigue siendo válido). Estudiamos ahora el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -2 \cdot (2 - 6) = -2 \cdot (-4) = 8 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1}$$