Probabilidad: Smartphone y Tablet

**a) [0,5 puntos] Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar no disponga de ninguno de los dos dispositivos.** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: - $S$: La persona posee un **smartphone**. - $T$: La persona posee una **tablet**. Del enunciado extraemos las probabilidades directas: - $P(S) = 0,68$ - $P(T) = 0,38$ - $P(S \cap T) = 0,16$ (Probabilidad de poseer ambos dispositivos) 💡 **Tip:** Siempre es recomendable definir los sucesos con letras que nos ayuden a identificarlos rápidamente durante la resolución.

Para visualizar mejor todos los posibles escenarios (tener un dispositivo pero no el otro, no tener ninguno, etc.), construimos una **tabla de contingencia** completando los valores restando los totales: $$\begin{array}{c|cc|c} & T & \bar{T} & \text{Total} \\\hline S & 0,16 & 0,52 & 0,68 \\ \bar{S} & 0,22 & 0,10 & 0,32 \\\hline \text{Total} & 0,38 & 0,62 & 1,00 \end{array}$$ Explicación de los cálculos de la tabla: - $P(S \cap \bar{T}) = P(S) - P(S \cap T) = 0,68 - 0,16 = 0,52$ - $P(\bar{S} \cap T) = P(T) - P(S \cap T) = 0,38 - 0,16 = 0,22$ - $P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 0,32$ - $P(\bar{S} \cap \bar{T}) = P(\bar{S}) - P(\bar{S} \cap T) = 0,32 - 0,22 = 0,10$ 💡 **Tip:** La suma de las filas y las columnas debe coincidir siempre con los totales marginales y el total general de $1$.

Se nos pide la probabilidad de que no tenga smartphone y no tenga tablet, es decir: $P(\bar{S} \cap \bar{T})$. **Método 1 (directo desde la tabla):** Mirando la celda correspondiente a la intersección de $\bar{S}$ y $\bar{T}$ en nuestra tabla de contingencia, obtenemos directamente: $$P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 0,10$$ **Método 2 (Leyes de De Morgan):** Recordamos que $P(\bar{S} \cap \bar{T}) = P(\overline{S \cup T}) = 1 - P(S \cup T)$. Primero calculamos la unión: $$P(S \cup T) = P(S) + P(T) - P(S \cap T) = 0,68 + 0,38 - 0,16 = 0,90$$ Entonces: $$P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 1 - 0,90 = 0,10$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 0,1}$$ 💡 **Tip:** Las leyes de De Morgan son fundamentales: el suceso "ni uno ni otro" es el contrario de "al menos uno de los dos".

**b) [0,5 puntos] Resulta que la persona elegida posee un smartphone, ¿que probabilidad hay de que tenga una tablet?** Se trata de una **probabilidad condicionada**. Sabemos que ocurre $S$ (posee smartphone) y queremos saber la probabilidad de que ocurra $T$ (tenga tablet). Esto se expresa como $P(T|S)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(T|S) = \frac{P(T \cap S)}{P(S)}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(T|S) = \frac{0,16}{0,68}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $0,04$: $$P(T|S) = \frac{16}{68} = \frac{4}{17} \approx 0,2353$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T|S) = \frac{4}{17} \approx 0,2353}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ reduce el espacio muestral al suceso $B$. En este caso, solo nos fijamos en el 68% que tiene smartphone.