Integral indefinida por partes y cálculo de áreas

**a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida $\int x \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx$.** Estamos ante una integral del producto de un polinomio por una función trigonométrica. Utilizaremos el método de **integración por partes**, cuya fórmula es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Para elegir $u$, seguimos la regla mnemotécnica **ALPES** (o LIATE), donde las funciones algebraicas (como $x$) tienen prioridad sobre las trigonométricas (como el seno) para ser elegidas como $u$. Definimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx \implies v = \int \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx$ Para calcular $v$, recordamos que $\int \text{sen}(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax)$: $$v = -\frac{1}{\pi/2} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) = -\frac{2}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{\pi x}{2}$ es $\frac{\pi}{2}$, por lo que su integral requiere compensar esa constante en el denominador.

Sustituimos $u, du, v$ en la fórmula de la integral por partes: $$\int x \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx = x \left( -\frac{2}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \right) - \int -\frac{2}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx$$ Simplificamos los términos: $$= -\frac{2x}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + \frac{2}{\pi} \int \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx$$ Calculamos la integral restante, recordando que $\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \text{sen}(ax)$: $$\int \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx = \frac{2}{\pi} \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right)$$ Sustituyendo este resultado: $$I = -\frac{2x}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + \frac{2}{\pi} \left( \frac{2}{\pi} \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) \right) + C$$ ✅ **Resultado de la integral indefinida:** $$\boxed{I = -\frac{2x}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + \frac{4}{\pi^2} \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) + C}$$

**b) [0,5 puntos] Determine el área del recinto limitado por el eje $OX$, las rectas verticales $x = 0$ y $x = 1$, y la gráfica de la función $f(x) = x \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right)$.** El área de un recinto limitado por una función $f(x)$ y el eje $OX$ entre $x=a$ y $x=b$ viene dada por la integral definida: $$A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$$ Analizamos el signo de $f(x) = x \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ en el intervalo $[0, 1]$: - En $(0, 1)$, $x$ es siempre positivo. - Si $x \in (0, 1)$, entonces el argumento del seno $\frac{\pi x}{2} \in (0, \pi/2)$, donde el seno es siempre positivo. Como $f(x) \ge 0$ en $[0, 1]$, el área es simplemente la integral definida: $$A = \int_{0}^{1} x \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar si la función cruza el eje $OX$ dentro del intervalo de integración para dividir la integral si fuera necesario.

Utilizamos la primitiva $F(x)$ calculada en el apartado anterior (con $C=0$): $$F(x) = -\frac{2x}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + \frac{4}{\pi^2} \text{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right)$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)$$ Evaluamos en $x=1$: $$F(1) = -\frac{2(1)}{\pi} \cos \left( \frac{\pi \cdot 1}{2} \right) + \frac{4}{\pi^2} \text{sen} \left( \frac{\pi \cdot 1}{2} \right)$$ Como $\cos(\pi/2) = 0$ y $\text{sen}(\pi/2) = 1$: $$F(1) = 0 + \frac{4}{\pi^2} (1) = \frac{4}{\pi^2}$$ Evaluamos en $x=0$: $$F(0) = -\frac{2(0)}{\pi} \cos(0) + \frac{4}{\pi^2} \text{sen}(0)$$ Como $\text{sen}(0) = 0$: $$F(0) = 0 + 0 = 0$$ Por tanto: $$A = \frac{4}{\pi^2} - 0 = \frac{4}{\pi^2} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = \frac{4}{\pi^2} \text{ unidades}^2 \approx 0,405 \text{ u}^2}$$