Cálculo de límites e indeterminaciones

**a) [1 punto] $\lim_{x \to 4} \left( \frac{1}{\sqrt{x}-2} - \frac{4}{x-4} \right)$.** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 4$: $$\lim_{x \to 4} \left( \frac{1}{\sqrt{4}-2} - \frac{4}{4-4} \right) = \frac{1}{0} - \frac{4}{0} \Rightarrow [\infty - \infty]$$ Nos encontramos ante una indeterminación de tipo infinito menos infinito. Para resolverla, debemos realizar operaciones algebraicas para unificar las fracciones. 💡 **Tip:** Cuando tenemos restas de fracciones con raíces, suele ser útil buscar un denominador común o utilizar identidades notables como la diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Observamos que el denominador $x - 4$ se puede factorizar como una diferencia de cuadrados: $$x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$$ Utilizamos esto como denominador común para operar la expresión: $$\lim_{x \to 4} \left( \frac{1}{\sqrt{x}-2} - \frac{4}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \right) = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}+2) - 4}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$ Simplificamos el numerador: $$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$ Cancelamos el factor $(\sqrt{x}-2)$ que aparece en numerador y denominador (ya que $x \neq 4$ al tender al límite): $$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \boxed{\frac{1}{4}}$$

**b) [1 punto] $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}x - x\cos x}{x - \text{sen}x}$.** Evaluamos el límite en $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(0) - 0\cdot\cos(0)}{0 - \text{sen}(0)} = \frac{0 - 0}{0 - 0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como tenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado. Derivamos el numerador $f(x) = \text{sen}x - x\cos x$: $$f'(x) = \cos x - (1 \cdot \cos x + x(-\text{sen}x)) = \cos x - \cos x + x\text{sen}x = x\text{sen}x$$ Derivamos el denominador $g(x) = x - \text{sen}x$: $$g'(x) = 1 - \cos x$$ El límite se convierte en: $$\lim_{x \to 0} \frac{x\text{sen}x}{1 - \cos x} = \frac{0 \cdot 0}{1 - 1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital se puede aplicar de forma sucesiva siempre que se mantenga la indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$ y las funciones sean derivables.

Volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital derivando de nuevo. Derivamos el nuevo numerador $x\text{sen}x$: $$(x\text{sen}x)' = 1 \cdot \text{sen}x + x\cos x = \text{sen}x + x\cos x$$ Derivamos el nuevo denominador $1 - \cos x$: $$(1 - \cos x)' = \text{sen}x$$ Evaluamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}x + x\cos x}{\text{sen}x} = \frac{0 + 0}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital por tercera vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{(\text{sen}x + x\cos x)'}{(\text{sen}x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x + (1\cdot\cos x - x\text{sen}x)}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - x\text{sen}x}{\cos x}$$ Sustituimos $x = 0$: $$\frac{2\cos(0) - 0\cdot\text{sen}(0)}{\cos(0)} = \frac{2(1) - 0}{1} = 2$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{2}$$