Plano, recta y posición relativa en el espacio

**a) [0,75 puntos] Determine la ecuación de $\pi$.** Para determinar la ecuación general (o implícita) del plano $\pi$ necesitamos un punto $P(1, 2, 3)$ y sus dos vectores directores $\vec{u} = (1, -1, 0)$ y $\vec{v} = (1, 0, 2)$. La ecuación se obtiene resolviendo el determinante de la matriz formada por el vector genérico $(X-P)$ y los vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - 1 & 1 & 1 \\ y - 2 & -1 & 0 \\ z - 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la regla de Sarrus: $$(x-1)(-1)(2) + (y-2)(0)(1) + (z-3)(1)(0) - [(z-3)(-1)(1) + (y-2)(1)(2) + (x-1)(0)(0)] = 0$$ $$-2(x-1) - [-(z-3) + 2(y-2)] = 0$$ $$-2x + 2 + z - 3 - 2y + 4 = 0$$ $$-2x - 2y + z + 3 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más usual: $$2x + 2y - z - 3 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ es el vector normal del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 2x + 2y - z - 3 = 0}$$

**b) [0,75 puntos] Determine la ecuación de $r$.** La recta $r$ pasa por los puntos $A = (1, 0, 4)$ y $B = (3, 2, 2)$. Primero calculamos su vector director $\vec{d_r}$ como el vector que une ambos puntos: $$\vec{d_r} = \vec{AB} = B - A = (3-1, 2-0, 2-4) = (2, 2, -2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo dividiendo por $2$: $$\vec{v_r} = (1, 1, -1)$$ Utilizando el punto $A(1, 0, 4)$ y el vector $\vec{v_r}$, escribimos la ecuación de la recta en forma continua (o cualquier otra forma válida): $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 4}{-1}$$ O de forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 4 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una recta queda determinada por un punto y un vector. Si tienes dos puntos, el vector director es la resta de las coordenadas de ambos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 4 - \lambda \end{cases}}$$

**c) [1 punto] Estudie la posición relativa de $\pi$ y $r$.** Para estudiar la posición relativa, analizaremos la relación entre el vector director de la recta $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (2, 2, -1)$. Calculamos el producto escalar entre ambos: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (1, 1, -1) \cdot (2, 2, -1) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1)$$ $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 2 + 2 + 1 = 5$$ Como el producto escalar es **distinto de cero** ($\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} \neq 0$), el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Esto implica que la recta **no es paralela** al plano ni está contenida en él. Por lo tanto, la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un único punto). 💡 **Tip:** Si $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$, la recta sería paralela al plano o estaría en él. Si $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} \neq 0$, siempre son secantes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes.}}$$