Inversas de matrices y resolución de ecuaciones matriciales

**a) [1,5 puntos] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.** Una matriz es regular o invertible si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 2 - 0 \cdot 1 = -4 - 0 = -4.$$ Como $|A| = -4 \neq 0$, la matriz **$A$ es regular**. Para calcular la inversa $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$: 1. Transponemos $A$: $A^t = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. 2. Hallamos la matriz adjunta de la traspuesta: $\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$. Finalmente: $$A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado ($A^{-1}$):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4.$$ Como $|B| = -4 \neq 0$, la matriz **$B$ es regular**. Calculamos su inversa $B^{-1}$: 1. Transponemos $B$: $B^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$. 2. Hallamos la adjunta de la traspuesta: $\text{Adj}(B^t) = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. Finalmente: $$B^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/4 \\ 1/2 & -1/4 \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado ($B^{-1}$):** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/4 \\ 1/2 & -1/4 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 punto] Determine la matriz $X$ que cumple la ecuación $AXB = C$.** Para resolver la ecuación $AXB = C$, debemos aislar $X$ multiplicando por las inversas de $A$ y $B$ en el orden correcto, ya que el producto de matrices no es conmutativo: 1. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $$A^{-1}(AXB) = A^{-1}C \implies (A^{-1}A)XB = A^{-1}C \implies IXB = A^{-1}C \implies XB = A^{-1}C$$ 2. Multiplicamos por $B^{-1}$ por la derecha: $$(XB)B^{-1} = (A^{-1}C)B^{-1} \implies X(BB^{-1}) = A^{-1}CB^{-1} \implies XI = A^{-1}CB^{-1}$$ Por tanto, la solución es: $$\mathbf{X = A^{-1}CB^{-1}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en álgebra matricial, $A \cdot X \neq X \cdot A$. Si multiplicas por una inversa a la izquierda en un lado de la igualdad, debes hacerlo también a la izquierda en el otro.

Primero calculamos el producto $A^{-1}C$: $$A^{-1}C = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 0 & -1 + 0 \\ 0 - 1/2 & 1/2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1/2 & 3/2 \end{pmatrix}.$$ Ahora multiplicamos el resultado por $B^{-1}$ por la derecha: $$X = (A^{-1}C)B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1/2 & 3/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 & 3/4 \\ 1/2 & -1/4 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0 - 1/2 & 0 + 1/4 \\ 1/4 + 3/4 & -3/8 - 3/8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/4 \\ 1 & -6/8 \end{pmatrix}$$ Simplificando la fracción $-6/8 = -3/4$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/4 \\ 1 & -3/4 \end{pmatrix}}$$