Probabilidad de sistemas operativos móviles

**a) Calculad la probabilidad de que un chico de la UIB tenga IOS en su teléfono móvil. (6 puntos)** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $C$: El estudiante es chica. - $H$: El estudiante es chico. - $A$: El estudiante tiene el sistema operativo Android. - $I$: El estudiante tiene el sistema operativo IOS. Extraemos los datos del enunciado: - $P(A) = 0,80 \implies P(I) = 1 - 0,80 = 0,20$ (ya que solo hay dos sistemas). - $P(C) = 0,45 \implies P(H) = 1 - 0,45 = 0,55$ (ya que asumimos dos géneros en el contexto del problema). - $P(I|C) = 0,25$ (el 25% de las chicas tienen IOS). - Por tanto, $P(A|C) = 1 - 0,25 = 0,75$ (el 75% de las chicas tienen Android). 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad condicionada, es fundamental identificar qué es la condición (lo que ya sabemos) y qué es el suceso cuya probabilidad queremos hallar. En $P(I|C)$, la condición es ser chica ($C$).

Para visualizar mejor la situación, construimos un diagrama de árbol. Denotamos como $x$ a la probabilidad que buscamos en el apartado a), es decir, $P(I|H)$.

Para hallar $P(I|H)$, utilizamos el Teorema de la Probabilidad Total para el suceso $I$: $$P(I) = P(C) \cdot P(I|C) + P(H) \cdot P(I|H)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,20 = 0,45 \cdot 0,25 + 0,55 \cdot P(I|H)$$ $$0,20 = 0,1125 + 0,55 \cdot P(I|H)$$ Despejamos $P(I|H)$: $$0,55 \cdot P(I|H) = 0,20 - 0,1125$$ $$0,55 \cdot P(I|H) = 0,0875$$ $$P(I|H) = \frac{0,0875}{0,55}$$ $$P(I|H) = 0,1591$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos que conducen a él en el árbol. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(I|H) = 0,1591 \approx 15,91\%}$$

**b) Calculad la probabilidad de que un estudiante que tenga Android en el teléfono móvil sea chica. (4 puntos)** Se nos pide la probabilidad de ser chica sabiendo que tiene Android, es decir, $P(C|A)$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada o el Teorema de Bayes: $$P(C|A) = \frac{P(C \cap A)}{P(A)}$$ Ya conocemos el denominador $P(A) = 0,80$. Calculamos el numerador $P(C \cap A)$ usando la probabilidad de la intersección: $$P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A|C)$$ $$P(C \cap A) = 0,45 \cdot 0,75 = 0,3375$$ Ahora, calculamos el cociente: $$P(C|A) = \frac{0,3375}{0,80}$$ $$P(C|A) = 0,421875$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para "invertir" la probabilidad condicionada. Si conocemos $P(A|C)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(C|A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|A) = 0,4219 \approx 42,19\%}$$