Triángulo equilátero en un plano y volumen de un tetraedro

**3. Dados los puntos $A(1, 0, 3)$ y $B(1, 3, 4)$, determinad los puntos situados en el plano $z = 1$ que formen con los puntos $A$ y $B$ un triángulo equilátero. (6 puntos) Calculad el volumen del tetraedro formado por los 3 puntos anteriores y el origen de coordenadas. (4 puntos)** Sea $P(x, y, z)$ un punto situado en el plano $z = 1$. Por tanto, sus coordenadas son de la forma $P(x, y, 1)$. Para que el triángulo $ABP$ sea equilátero, las distancias entre sus vértices deben ser iguales: $d(A, B) = d(A, P) = d(B, P)$. Primero, calculamos el vector $\vec{AB}$ y su módulo: $$\vec{AB} = (1 - 1, 3 - 0, 4 - 3) = (0, 3, 1)$$ $$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ La longitud del lado del triángulo debe ser $\sqrt{10}$. 💡 **Tip:** Un triángulo es equilátero si todos sus lados miden lo mismo. En geometría analítica, esto se traduce en igualar las distancias entre los puntos.

Utilizamos la condición de que las distancias $d(A, P)$ y $d(B, P)$ deben ser iguales a $\sqrt{10}$: 1. Para $d(A, P) = \sqrt{10}$: $$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{10}$$ $$(x-1)^2 + y^2 + (-2)^2 = 10 \implies (x-1)^2 + y^2 = 6 \quad [Ec. 1]$$ 2. Para $d(B, P) = \sqrt{10}$: $$\sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{10}$$ $$(x-1)^2 + (y-3)^2 + (-3)^2 = 10 \implies (x-1)^2 + (y-3)^2 = 1 \quad [Ec. 2]$$ 💡 **Tip:** La distancia entre dos puntos $P_1(x_1, y_1, z_1)$ y $P_2(x_2, y_2, z_2)$ es $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Restamos la $[Ec. 2]$ a la $[Ec. 1]$ para eliminar el término $(x-1)^2$: $$((x-1)^2 + y^2) - ((x-1)^2 + (y-3)^2) = 6 - 1$$ $$y^2 - (y^2 - 6y + 9) = 5$$ $$y^2 - y^2 + 6y - 9 = 5$$ $$6y = 14 \implies y = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ Ya tenemos la coordenada $y$ de los posibles puntos $P$.

Sustituimos $y = \frac{7}{3}$ en la $[Ec. 1]$: $$(x-1)^2 + \left(\frac{7}{3}\right)^2 = 6$$ $$(x-1)^2 + \frac{49}{9} = 6$$ $$(x-1)^2 = 6 - \frac{49}{9} = \frac{54 - 49}{9} = \frac{5}{9}$$ $$x - 1 = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$ $$x = 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$ Por tanto, los puntos buscados son: $$\boxed{P_1\left(1 + \frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{7}{3}, 1\right) \quad \text{y} \quad P_2\left(1 - \frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{7}{3}, 1\right)}$$

El volumen del tetraedro formado por $O(0, 0, 0)$, $A(1, 0, 3)$, $B(1, 3, 4)$ y $P$ se calcula mediante la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OP}$: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OP}]|$$ Los vectores son: $$\vec{OA} = (1, 0, 3)$$ $$\vec{OB} = (1, 3, 4)$$ $$\vec{OP} = (x, y, 1)$$ Calculamos el determinante del producto mixto en función de las coordenadas de $P$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (3 - 4y) - 0 \cdot (1 - 4x) + 3 \cdot (y - 3x)$$ $$= 3 - 4y + 3y - 9x = 3 - y - 9x$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen es $V = \frac{1}{6} |\det(\vec{A}, \vec{B}, \vec{P})|$.

Para $P_1\left(1 + \frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{7}{3}, 1\right)$, el valor del producto mixto es: $$D_1 = 3 - \frac{7}{3} - 9\left(1 + \frac{\sqrt{5}}{3}\right) = 3 - \frac{7}{3} - 9 - 3\sqrt{5}$$ $$D_1 = -6 - \frac{7}{3} - 3\sqrt{5} = -\frac{18 + 7}{3} - 3\sqrt{5} = -\frac{25}{3} - 3\sqrt{5} = \frac{-25 - 9\sqrt{5}}{3}$$ Calculamos el volumen: $$V_1 = \frac{1}{6} \left| \frac{-25 - 9\sqrt{5}}{3} \right| = \frac{25 + 9\sqrt{5}}{18} \text{ u}^3$$ ✅ **Resultado (Volumen 1):** $$\boxed{V_1 = \frac{25 + 9\sqrt{5}}{18} \approx 2.507 \text{ u}^3}$$

Para $P_2\left(1 - \frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{7}{3}, 1\right)$, el valor del producto mixto es: $$D_2 = 3 - \frac{7}{3} - 9\left(1 - \frac{\sqrt{5}}{3}\right) = 3 - \frac{7}{3} - 9 + 3\sqrt{5}$$ $$D_2 = -6 - \frac{7}{3} + 3\sqrt{5} = -\frac{25}{3} + 3\sqrt{5} = \frac{-25 + 9\sqrt{5}}{3}$$ Como $9\sqrt{5} \approx 20.12 < 25$, el valor es negativo, por lo que el valor absoluto cambia el signo: $$V_2 = \frac{1}{6} \left| \frac{-25 + 9\sqrt{5}}{3} \right| = \frac{25 - 9\sqrt{5}}{18} \text{ u}^3$$ ✅ **Resultado (Volumen 2):** $$\boxed{V_2 = \frac{25 - 9\sqrt{5}}{18} \approx 0.271 \text{ u}^3}$$