Representación de función con valor absoluto e integración definida

**Consideramos la función $f(x) = x \cdot |x - 1|$. Haced un dibujo aproximado de la función anterior en el intervalo $[0, 2]$. (6 puntos).** Primero, debemos eliminar el valor absoluto para trabajar con la función con mayor facilidad. Recordamos que $|x-1|$ cambia de signo en $x=1$: - Si $x-1 \lt 0 \implies x \lt 1$, entonces $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. - Si $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$, entonces $|x-1| = x-1$. Multiplicando por el factor $x$ exterior, la función en el intervalo $[0, 2]$ queda definida como: $$f(x)=\begin{cases} x(1-x) = -x^2+x & \text{si } 0 \le x \lt 1, \\ x(x-1) = x^2-x & \text{si } 1 \le x \le 2. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una función con valor absoluto, el primer paso debe ser definirla como una función a trozos identificando los puntos donde el argumento del valor absoluto se anula.

Para realizar el dibujo aproximado en $[0, 2]$, analizamos las dos parábolas obtenidas: 1. **Rama 1 ($0 \le x \lt 1$):** $f(x) = -x^2+x$. Es una parábola cóncava hacia abajo (abierta hacia abajo). - Puntos de corte con el eje $X$: $-x^2+x=0 \implies x(1-x)=0$, lo que da $x=0$ y $x=1$. - Vértice: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2(-1)} = 0.5$. La ordenada es $f(0.5) = -0.5^2 + 0.5 = 0.25$. 2. **Rama 2 ($1 \le x \le 2$):** $f(x) = x^2-x$. Es una parábola cóncava hacia arriba (abierta hacia arriba). - Punto de inicio: $x=1, f(1)=0$. - Punto final: $x=2, f(2) = 2^2-2 = 2$. - Vértice: $x_v = 0.5$ (fuera de este intervalo). 💡 **Tip:** Para representar parábolas, los puntos clave son el vértice y los puntos de corte con los ejes o los extremos de los intervalos de definición.

A continuación se muestra la gráfica de la función en el intervalo solicitado y las regiones cuya área debemos calcular en el siguiente apartado.

**Calculad el área limitada por la gráfica de la función anterior y el eje de las $X$. (4 puntos)** El área total $A$ es la integral del valor absoluto de la función entre los límites dados. Como en el intervalo $[0, 2]$ la función siempre es mayor o igual que cero ($x \ge 0$ y $|x-1| \ge 0$), el área coincide con la integral definida dividida en los dos trozos de la función: $$A = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (-x^2+x) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2-x) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre una función y el eje $X$ se calcula como $\int_a^b |f(x)| \, dx$. Debemos separar la integral en los puntos donde la función cruza el eje $X$ o donde cambia su definición.

Calculamos cada integral por separado aplicando la **Regla de Barrow**. Para la primera región ($A_1$): $$A_1 = \int_{0}^{1} (-x^2+x) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ $$A_1 = \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) - (0) = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$$ Para la segunda región ($A_2$): $$A_2 = \int_{1}^{2} (x^2-x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2}$$ $$A_2 = \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right)$$ $$A_2 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{1}{6} \right) = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$ Sumamos ambas áreas: $$A_{total} = A_1 + A_2 = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ u}^2}$$ 💡 **Tip:** No olvides que el área siempre debe ser un valor positivo. Si alguna de las integrales te diera negativa, es porque la función está por debajo del eje $X$ en ese intervalo y deberías tomar su valor absoluto.