Discusión y resolución de un sistema con cuatro ecuaciones

**1. a) Discutid para qué valores de $a$ el sistema siguiente es compatible:** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial. Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ -1 & a & 1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 & -1 \\ -1 & a & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Se trata de un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas ($x, y, z$). Según el **teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada: $rg(A) = rg(A^*)$. Como $A$ es una matriz de dimensiones $4 \times 3$, su rango máximo es $3$. Para que el sistema sea compatible, el rango de $A^*$ (que es $4 \times 4$) también debe ser, como máximo, $3$. Esto implica que el determinante de $A^*$ debe ser igual a cero. 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz cuadrada es distinto de cero, su rango es máximo (igual al número de filas/columnas).

Calculamos $|A^*|$ desarrollando por la cuarta fila, ya que contiene un cero: $$|A^*| = \begin{vmatrix} a & 1 & -2 & -1 \\ -1 & a & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ $$|A^*| = 0 \cdot M_{41} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 & -1 \\ -1 & a & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 & -2 \\ -1 & a & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos los menores de orden 3 por Sarrus: 1. $M_1 = [0-12-1] - [-3-2a+0] = -13 + 3 + 2a = 2a - 10$ 2. $M_2 = [0+6+1] - [-3a+2a+0] = 7 + a$ 3. $M_3 = [-a^2+3+2] - [-6a+a+1] = -a^2+5+5a-1 = -a^2+5a+4$ Sustituimos en la expresión del determinante: $$|A^*| = -1(2a - 10) + 1(7 + a) - 3(-a^2 + 5a + 4)$$ $$|A^*| = -2a + 10 + 7 + a + 3a^2 - 15a - 12$$ $$|A^*| = 3a^2 - 16a + 5$$ 💡 **Tip:** El desarrollo por los elementos de una línea simplifica los cálculos cuando hay ceros.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$3a^2 - 16a + 5 = 0 \implies a = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 60}}{6} = \frac{16 \pm 14}{6}$$ Obtenemos dos soluciones: $a_1 = 5$ y $a_2 = 1/3$. **Caso 1: $a = 5$** Si $a=5$, $|A^*| = 0$, por lo que $rg(A^*) \le 3$. En la matriz $A$ existe el menor: $$\begin{vmatrix} -1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 + 3 + 0) - (0 + 1 + 15) = 2 - 16 = -14 \neq 0$$ Luego $rg(A) = 3 = rg(A^*) = n^o \text{ incógnitas}$. El sistema es **Compatible Determinado**. **Caso 2: $a = 1/3$** Si $a=1/3$, $|A^*| = 0$, por lo que $rg(A^*) \le 3$. En la matriz $A$ existe el menor: $$\begin{vmatrix} 1/3 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1/3 + 0 - 6) - (0 - 1/3 + 3) = -\frac{17}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{25}{3} \neq 0$$ Luego $rg(A) = 3 = rg(A^*) = n^o \text{ incógnitas}$. El sistema es **Compatible Determinado**. **Caso 3: $a \neq 5$ y $a \neq 1/3$** $|A^*| \neq 0 \implies rg(A^*) = 4$. Como $rg(A)$ solo puede ser máximo 3, los rangos son distintos. El sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{Compatible para } a = 5 \text{ y } a = 1/3.}$$

**b) Resuélvelo en el caso en que sea compatible** Para $a = 5$, utilizamos las tres últimas ecuaciones (que hemos comprobado que son linealmente independientes): $$\begin{cases} -x + 5y + z = 2 & (1) \\ 3x + y - z = 0 & (2) \\ y + z = 3 & (3) \end{cases}$$ De la ecuación (3): $z = 3 - y$. Sustituimos en (1) y (2): (1) $-x + 5y + 3 - y = 2 \implies -x + 4y = -1 \implies x = 4y + 1$ (2) $3(4y + 1) + y - (3 - y) = 0 \implies 12y + 3 + y - 3 + y = 0 \implies 14y = 0 \implies y = 0$ Calculamos el resto de variables: $y = 0 \implies x = 4(0) + 1 = 1$ $z = 3 - 0 = 3$ ✅ **Solución para $a=5$:** $$\boxed{(x, y, z) = (1, 0, 3)}$$

Para $a = 1/3$, el sistema es: $$\begin{cases} \frac{1}{3}x + y - 2z = -1 & (1) \\ -x + \frac{1}{3}y + z = 2 & (2) \\ 3x + y - z = 0 & (3) \\ y + z = 3 & (4) \end{cases}$$ Usamos las ecuaciones (1), (3) y (4). De (4) tenemos $y = 3 - z$. Sustituimos en (1) y (3): (1) $\frac{1}{3}x + (3 - z) - 2z = -1 \implies \frac{1}{3}x - 3z = -4 \implies x - 9z = -12$ (3) $3x + (3 - z) - z = 0 \implies 3x - 2z = -3$ Multiplicamos la primera por $-3$ y sumamos: $-3x + 27z = 36$ $3x - 2z = -3$ -------------- $25z = 33 \implies z = \frac{33}{25}$ Sustituimos para hallar $x$ e $y$: $y = 3 - \frac{33}{25} = \frac{75-33}{25} = \frac{42}{25}$ $x = 9\left(\frac{33}{25}\right) - 12 = \frac{297 - 300}{25} = -\frac{3}{25}$ ✅ **Solución para $a=1/3$:** $$\boxed{(x, y, z) = \left(-\frac{3}{25}, \frac{42}{25}, \frac{33}{25}\right)}$$