Distribución Normal: Tiempos de concentración

Definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo (en minutos) que un alumno está concentrado en una clase de Matemáticas. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 15$ y desviación típica $\sigma = 5$. Por tanto: $$X \sim N(15, 5)$$ Para calcular probabilidades en esta distribución, debemos tipificar la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 15}{5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar las probabilidades.

**a) Calculad la probabilidad de que un alumno esté concentrado más de 20 minutos. (3 puntos)** Buscamos calcular $P(X \gt 20)$. Tipificamos el valor: $$Z = \frac{20 - 15}{5} = \frac{5}{5} = 1$$ Entonces: $$P(X \gt 20) = P(Z \gt 1)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda ($P(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscamos en la tabla el valor de $P(Z \le 1) = 0.8413$: $$P(X \gt 20) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 20) = 0.1587}$$

**b) Calculad la probabilidad de que un alumno esté concentrado entre 10 y 30 minutos. (3 puntos)** Buscamos calcular $P(10 \lt X \lt 30)$. Tipificamos ambos valores: Para $x = 10 \implies Z = \frac{10 - 15}{5} = -1$ Para $x = 30 \implies Z = \frac{30 - 15}{5} = 3$ La probabilidad solicitada es: $$P(10 \lt X \lt 30) = P(-1 \lt Z \lt 3)$$ Utilizamos la propiedad del intervalo: $P(a \lt Z \lt b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$: $$P(-1 \lt Z \lt 3) = P(Z \le 3) - P(Z \le -1)$$ Calculamos cada valor: 1. $P(Z \le 3) = 0.9987$ (directo de la tabla). 2. $P(Z \le -1) = P(Z \ge 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$. Sustituimos: $$P(10 \lt X \lt 30) = 0.9987 - 0.1587 = 0.84$$ 💡 **Tip:** Debido a la simetría de la campana de Gauss, $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(10 \lt X \lt 30) = 0.84}$$

**c) Nos dicen que la probabilidad de que un alumno esté concentrado más de $x$ minutos vale 0.75. Calculad este valor de $x$ minutos. (4 puntos)** Se nos pide hallar $x$ tal que $P(X \gt x) = 0.75$. Tipificamos la variable: $$P\left( Z \gt \frac{x - 15}{5} \right) = 0.75$$ Llamamos $z_0 = \frac{x - 15}{5}$. Entonces $P(Z \gt z_0) = 0.75$. Esto equivale a: $$1 - P(Z \le z_0) = 0.75 \implies P(Z \le z_0) = 0.25$$ Como $0.25 \lt 0.5$, sabemos que $z_0$ es un valor negativo. Por simetría: $$P(Z \le z_0) = 0.25 \iff P(Z \ge -z_0) = 0.25 \iff 1 - P(Z \le -z_0) = 0.25$$ $$P(Z \le -z_0) = 0.75$$ Buscamos en el interior de la tabla el valor más cercano a $0.75$. El valor $0.7486$ corresponde a $z = 0.67$ (o usamos $0.674$ para mayor precisión). $$-z_0 = 0.674 \implies z_0 = -0.674$$ Ahora despejamos $x$: $$-0.674 = \frac{x - 15}{5}$$ $$x - 15 = 5 \cdot (-0.674) = -3.37$$ $$x = 15 - 3.37 = 11.63 \text{ minutos}$$ 💡 **Tip:** Si el área a la derecha es mayor que 0.5, el valor de $x$ debe ser necesariamente menor que la media (15). ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 11.63 \text{ minutos}}$$